[obm-l] RE: Re: [obm-l] Regra da cadeia : esta demonstracao � valida?

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Regra da cadeia : esta
>demonstracao � valida?
>
>Uma maneira simples que eu conhe�o:
>
>seja h(x) = g(f(x))
>
>por defini��o a derivada num ponto p �:
>dh/dx = [g(f(x))]' = lim {x->p} [h(x) - h(p)]/(x-p) = [g(f(x)) -
>g(f(p))]/(x-p)
>mas (tb por def.)
>f'(p) = lim {x->p} [f(x) - f(p)]/(x-p)
>g'(p) = lim {x->p} [g(x) - g(p)]/(x-p)
>logo (assumindo f bem comportada)
>g'(f(p)) = lim {f(x)->f(p)} [g(f(x)) - g(f(p))]/[f(x)-f(p)]
>
>agora verifique: dh/dx = g'(f(x)).f'(x)

Esta demonstra��o � v�lida mas tem uma limita��o: como vc dise, s� se aplica
se f for bem comportada, no sentido de que exista uma vizinhan�a de p na
qual f(x) <> f(p) para x<>p. Se tal vizinhan�a n�o existir, a f�rmula de
produto de limites que vc usou n�o � v�lida. 
Para tratar este caso em que f(x) - f(p) se anule para x<>p em qualquer
vizinhan�a de p, observemos que tal condi��o acarreta que f'(p)= 0. Em
virtude da exist�ncia de g'(f(p)), segue-se das propriedades das derivadas
que existe uma constante K>0 tal que, para x suficientemente pr�ximo de p,
temos que |g(f(x))-g(f(p)| < K|f(x) - f(p)|. Logo,  |g(f(x))-g(f(p)|/(x-p) <
K|f(x) - f(p)|/(x-p) para x<>p. Passando-se ao limite quando x->p, o segundo
membro vai para 0 e, pelo teorema do confronto, o primeiro membro tamb�m
vai. Logo, lim x->p  [g(f(x))-g(f(p)]/(x-p) = 0 = g'(f(p)) f'(p), poi
f'(p)=0. Isto prova a regra da cadeia tamb�m para esta situa��o um tanto
"esdr�xula".

A demonstra��o apresentada no site, assim como algumas similares (por
Exemplo, a do livro de Bartle & Sherbert) s�o interssantes porque eliminam
denominadores nulos e valem em qualquer circunst�ncia. Mas me parece que a
demosntra��o que vc citou aliada a esta complementa��o que citei d�o melhor
insight, no caso unidimensional, de porque a regra da cadeia funciona. No
caso de fun��es de n vari�veis aa demonstra��o est� mais na linha da que
aparece no site.

Artur

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