[obm-l] RE: Re: [obm-l] Regra da cadeia : esta demonstracao é valida?

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Regra da cadeia : esta
>demonstracao é valida?
>
>Uma maneira simples que eu conheço:
>
>seja h(x) = g(f(x))
>
>por definição a derivada num ponto p é:
>dh/dx = [g(f(x))]' = lim {x->p} [h(x) - h(p)]/(x-p) = [g(f(x)) -
>g(f(p))]/(x-p)
>mas (tb por def.)
>f'(p) = lim {x->p} [f(x) - f(p)]/(x-p)
>g'(p) = lim {x->p} [g(x) - g(p)]/(x-p)
>logo (assumindo f bem comportada)
>g'(f(p)) = lim {f(x)->f(p)} [g(f(x)) - g(f(p))]/[f(x)-f(p)]
>
>agora verifique: dh/dx = g'(f(x)).f'(x)

Esta demonstração é válida mas tem uma limitação: como vc dise, só se aplica
se f for bem comportada, no sentido de que exista uma vizinhança de p na
qual f(x) <> f(p) para x<>p. Se tal vizinhança não existir, a fórmula de
produto de limites que vc usou não é válida. 
Para tratar este caso em que f(x) - f(p) se anule para x<>p em qualquer
vizinhança de p, observemos que tal condição acarreta que f'(p)= 0. Em
virtude da existência de g'(f(p)), segue-se das propriedades das derivadas
que existe uma constante K>0 tal que, para x suficientemente próximo de p,
temos que |g(f(x))-g(f(p)| < K|f(x) - f(p)|. Logo,  |g(f(x))-g(f(p)|/(x-p) <
K|f(x) - f(p)|/(x-p) para x<>p. Passando-se ao limite quando x->p, o segundo
membro vai para 0 e, pelo teorema do confronto, o primeiro membro também
vai. Logo, lim x->p  [g(f(x))-g(f(p)]/(x-p) = 0 = g'(f(p)) f'(p), poi
f'(p)=0. Isto prova a regra da cadeia também para esta situação um tanto
"esdrúxula".

A demonstração apresentada no site, assim como algumas similares (por
Exemplo, a do livro de Bartle & Sherbert) são interssantes porque eliminam
denominadores nulos e valem em qualquer circunstância. Mas me parece que a
demosntração que vc citou aliada a esta complementação que citei dão melhor
insight, no caso unidimensional, de porque a regra da cadeia funciona. No
caso de funções de n variáveis aa demonstração está mais na linha da que
aparece no site.

Artur

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