Re: [obm-l] Como resolvo essa??

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    A sequencia que voce definiu foi a_1 = 1, a_n+1 = sqrt ( 5 - sqrt(5 -
a_n) ).
    Tomando limites dos dois lados, o máximo que voce pode concluir assim
direto eh que L^2 = 5 - sqrt(5-L) (caso o limite exista).
    Ou seja, vc cai exatamente na mesma equação. Para essa  sua solução
funcionar voce poderia tentar criar um b_n semelhante ao a_n acima, mas
tomando sempre uma qtd impar de radicais..
    A solucao que eu considero mais legal desse problema foi mostrada pra
mim por um colega nosso aqui da lista (nao sei se ele ainda acessa):
Seja y tal que y = sqrt(5-x). Entao, x =  sqrt(5-y).
Elevando ambas as equações ao quadrado e subtraindo, y^2 - x^2 = y-x => y=x
ou y+x=1.
O 2o caso nao pode valer, pq ele implica x <= 1, e portanto y = sqrt(5-x) >=
sqrt(5-1) = 2 donde x+y > 2 != 1.
Qto ao 1o, ele nos leva a 5-x = x^2, x^2 + x - 5=0, x = [-1 +- sqrt(21)]/2.
Como x > 0 (eh raiz de alguem), temos x = [-1 + sqrt(21)] / 2.

    Uma terceira solução (tem aquela do Cláudio, que tmb é bem
interessante), consiste em vc simplesmente ir elevando ao quadrado até
encontrar a equação do 4o grau. Aí voce usa dois teoremas que juntos
resolvem quase qq problema de fatoração de vestibular:
(1) Lema de Gauss: Se um polinômio em Z[x] (i.e, de coeficientes inteiros)
admite uma fatoração em Q[x], então ele tmb admite uma em Z[x].
(2) Como o problema é de vestibular, as raizes provavelmente sao simpaticas,
no maximo um irracional quadratico, de modo que vc provavelmente conseguira
fatorar seu polinomio com coeficientes racionais (e portanto inteiros).

    Algumas outras soluções diferentes destas podem ser encontradas nos
arquivos da lista. Esse problema já foi muito discutido aqui.

    Abracos,
    Marcio


----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 28, 2003 7:38 PM
Subject: Re: [obm-l] Como resolvo essa??


> > > raiz(5 - raiz(5 - x)) = x
>
> Pode ser assim também:
> Veja que se x = raiz(5 - raiz(5 - x)), podemos colocar
> o valor de x no segundo lado da equação:
> x = raiz(5 - raiz(5 - x))
> x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - x))))
>
> Podemos fazer isso quantas vezes quisermos, infinitas
> vezes. Suponha que você faça isso infinitas vezes:
> x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
>
> Agora veja que elevando os dois membros ao quadrado:
> x² = 5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> x² - 5 = - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
>
> Mas o segundo membro é igual a x!!! Então:
> 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> 5 - x² = x
> x² + x - 5 = 0
> x = [-1 +- raiz(21)]/2
>
> Como x tem que ser positivo porque é uma raiz, a
> resposta é:
> x = [raiz(21) - 1]/2
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>
>

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