Re: [obm-l] 3 problemas de algebra

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> Sejam a,b,c,d pertencentes aos NATURAIS com b e d diferentes de zero,
> tais que a/b e c/d sao fracoes reduzidas.
> Mostre que se a/b + c/d pertencem aos NATURAIS entao b=d.
>
a/b + c/d = n ==>
ad + bc = nbd ==>
ad = nbd - bc ==>
ad = b(nd - c) ==>
d divide b(nd - c)

c/d é reduzida ==>
mdc(c,d) = 1 ==>
mdc(nd-c,d) = 1 ==>
d divide b

Analogamente ( escrevendo bc = d(nb - a) ) concluímos que b divide d.

Como b e d se dividem mutuamente e são naturais, só pode ser b = d

************

>
> Seja um numero a pertencente aos NATURAIS, mostre que se
> a raiz setima de a pertence aos RACIONAIS entao a raiz setima de
> a pertence aos NATURAIS.
>
Isso é uma consequencia do teorema sobre raízes racionais de um polinômio
(já houve uma longa discussão sobre o tema  aqui na lista).

Considere o polinômio f(x) = x^7 - a.

Pelo teorema, se o racional p/q (p inteiro, q natural e mdc(p,q) = 1) é raiz
de f(x), então:
q divide 1  e  p divide a.

q é natural e q divide 1 ==>
q = 1 ==>
p/q = p é inteiro (e tal que f(p) = 0)

Se p < 0, então f(p) = p^7 - a < 0 ==>
contradição ==>
p > 0 ==>
p é natural.

***************
>
> NOTA: o que escrevo entre colchetes eh o indice da variavel, logo
> a{n} le-se a indice n
> Sejam a{0}, b{0} pertencentes aos REAIS. Para n>1 definimos
>
> 2 * a{n} = a{n-1} + b{n-1}
>
> 2 * b{n} = a{n} + b{n-1}
>
> mostre que para n>1 temos
> a{n} =a{0} + (2/3)*(b{0} - a{0})(1 - 1/(4^n))
> e
> b{n} =a{0} + (2/3)*(b{0} - a{0})[1 + 1/(2*(4^n))]
>
a(n) = [a(n-1) + b(n-1)]/2
b(n) = [a(n) + b(n-1)]/2 = [a(n-1) + 3*b(n-1)]/4

Assim:
a(1) = [a(0) + b(0)]/2
b(1) = [a(1) + b(0)]/2 = [a(0) + 3*b(0)]/4
...
Depois é só álgebra braçal e indução.

Um abraço,
Claudio.

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