[obm-l] Re:[obm-l] n³ + 100 é divi por n + 10

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Caro jgb1,   
sua ajuda nao me parece fazer nenhum sentido... de onde vc tirou que
"Dividindo n³ + 100 por n+10, resta 900"?   O proprio enunciado da
questao afirma que dividindo n³ + 100 por n+10, resta 0.
 
Sera que vc pode 'post' aqui o raciocinio usado na sua afirmacao?

O racioicínio do Fábio está perfeito. Considere os polinômios P e D
dados por P(x) = x^3 + 100 e D(x) = x+10. Se dividirmos P por D (isto é,
dividirmos 2 polinômios, duas funcões polinomiais), concluimos que, para
todo x real, P(x) = (x^2 -10x +100) D(x) -900.  Logo, -900, que pode ser
considerado como um polinômio do grau zero, isto é, uma função
constante, é o resto da divisão de P por D, e o quociente é o polinômio
Q dado por Q(x) = x^2 -10x +100. Observe que -900 é o valor de P para
x=-10, visto que -10 anula D (este é um conhecido teorema da Álgebra).
Temos então, para x<>-10, que P(x)/D(x) = Q(x) - 900/((x+10).
Constatamos que todos os coeficientes de Q são inteiros, logo, Q(n) é
inteiro se n também o for. Disso concluimos, das definições de P, D e Q,
que, para n inteiro positivo, (n^3 + 100)/(n+10) = n^2 - 10n + 100 -
900/(n+10) será inteiro se, e somente se, o segundo membro desta
igualdade também o for. Dado que Q(n) = n^2 - 10n + 100 é inteiro se n o
for, segue-se  que o segundo membro será inteiro sse 900/(n+10) o for.
Ora, o maior divisor de um inteiro positivo é ele prórprio. Logo, o
maior valor de n que acareta a condição desejada é tal que n+10 = 900,
ou seja n= 890.

Artur 


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