Re: [obm-l] Como resolvo essa??

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Rafael:

A sua solucao estah correta porem incompleta. Voce ainda precisa provar que
a sua sequencia infinita de raizes quadradas converge (o que de fato
ocorre). Uma vez que a convergencia tenha sido provada, nao ha duvida de que
a sua solucao eh mais elegante. Entretanto, a que vai para o "Livro" eh a do
Morgado.

Mais formalmente, voce pode definir:
x(1) = 0;
x(n+1) = raiz(5 - x(n)) para n >= 1

Assim, o que voce fez foi provar que se x(n) converge para um limite L,
entao L = raiz(L - 5) ==>
L^2 = L - 5 ==>
(descartando a raiz negativa) L = (-1+raiz(21))/2.

No entanto, falta provar que x(n) eh de fato uma sequencia convergente.

Eu tentei este caminho mas, francamente, me enrolei na algebra.

Pra voce ver que eu nao estou fazendo tempestade em copo d'agua, considere a
seguinte sequencia:
y(1) = 1
y(n+1) = 3*y(n)^2

Entao, se y(n) converge para M, teremos M = 3*M^2 ==>
M = 0 ou M = 3.
No entanto, y(n) eh divergente...

Um abraco,
Claudio.

on 28.03.03 19:38, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:

>>> raiz(5 - raiz(5 - x)) = x
> 
> Pode ser assim também:
> Veja que se x = raiz(5 - raiz(5 - x)), podemos colocar
> o valor de x no segundo lado da equação:
> x = raiz(5 - raiz(5 - x))
> x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - x))))
> 
> Podemos fazer isso quantas vezes quisermos, infinitas
> vezes. Suponha que você faça isso infinitas vezes:
> x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> 
> Agora veja que elevando os dois membros ao quadrado:
> x² = 5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> x² - 5 = - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> 
> Mas o segundo membro é igual a x!!! Então:
> 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ...))))...)))
> 5 - x² = x
> x² + x - 5 = 0
> x = [-1 +- raiz(21)]/2
> 
> Como x tem que ser positivo porque é uma raiz, a
> resposta é:
> x = [raiz(21) - 1]/2
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
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