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Re: [obm-l] fracoes parciais

  Caro Luis,
  Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria... 
  Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse
polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada,
lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k  e' raiz simples
de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo
k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n.
   O item ii) e' um corolario imediato do item i).
   Abracos, 
           Gugu

   
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>
>Sauda,c~oes,
>
>Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as
>(todas) n ra=EDzes simples de Q(x).
>
>Mostre que P(x) / Q(x) =3D \sum_{k=3D1}^n
>
>[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]      (*)
>
>Ou em LaTeX:
>
>\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n
>\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k}
>
>Exemplos:
>
>i)
>P(x) =3D 2x + 1
>Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2)
>Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2
>
>P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5
>Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2
>
>P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)=20
>
>ii)
>
>se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}.
>
>Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias???
>
>Obrigado.
>
>[]'s
>Lu=EDs
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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