Re: [obm-l] fracoes parciais

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Obrigado Gugu (como vc mesmo se assina),
vou dar uma olhada.

Agora podemos demonstrar a la Euler que
\sum_{n >= 1} 1 / (n^2 + 1) = (\pi\coth\pi - 1) / 2.

Sejam
P(z) = 1 + z^2/2 + ... +  z^{2n}/(2n)!    e
Q(z) = z + z^3/3! + ... + z^{2n+1}/(2n+1)! .

Observe agora que:

i) grau de P < grau de Q;
ii) Q' = P;
iii) lim P = \cosh z; lim Q = \sinh z
iv) \cosh z / \sinh z = \coth z.
v) Q tem 2n+1 raízes simples
vi) as raízes de \sinh z são ik\pi, k = 0,+-1,+-2,...

Conclua que lim P(z)/Q(z)=\coth z =
1/z + 2z [1/(z^2 + \pi^2) + 1/(z^2 + 4\pi^2) + ....]

E coloque z=\pi no resultado acima.

Não é totalmente rigoroso mas é interessante.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2003 22:47
Assunto: Re: [obm-l] fracoes parciais


>   Caro Luis,
>   Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao
e'
> igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
>   Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
> R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
> entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
> Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor
desse
> polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
> termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
> e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de
derivada,
> lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k  e' raiz simples
> de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para
todo
> k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
> um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos
a_1,a_2,...,a_n.
>    O item ii) e' um corolario imediato do item i).
>    Abracos,
>            Gugu
>


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