Re: [obm-l] Triângulos equiláteros!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Triângulos equiláteros!

on 25.03.03 01:11, cgmat at cgmat@uol.com.br wrote:

>  Por favor, alguém poe dar-me uma mãozinha?
>  
> Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.
>  
>
> Muito grato, Carlos A. Gomes
Caro Carlos:

Eu consegui provar que bastam 10 moedas - tambem dispostas formando um triangulo equilatero.

Infelizmente, a demonstracao nao usa nenhuma "sacada brilhante", mas consiste apenas de uma analise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas. Se voce estiver com saco para acompanhar o raciocinio ate o final, eu recomendo fortemente o uso de papel e lapis... 
 
Considere a seguinte disposicao das moedas:

              (01)
          (02) (03)
      (04) (05) (06)
  (07) (08) (09) (10)

Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, entao acabou.

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Caso contrario, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) eh preta e (07) e (10) sao brancas.

Se (02) e (03) forem ambas pretas, entao (01), (02) e (03) serao pretas ==>
acabou

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Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca.

Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte:
A) (02) eh branca;
B) (02) eh preta.
(o caso em que (02) eh branca e (03) eh preta sera a imagem especular do caso em que (02) eh preta e (03) branca)

A) (02) eh branca:

Se (08) ou (09) for branca, entao (02), (07) e (09) serao brancas ou (03), (08) e (10) serao brancas ==>
acabou

Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas.

Nesse caso, se (05) for branca, entao (02), (03) e (05) serao brancas ==>
acabou

Por outro lado, se (05) for preta, entao (05), (08) e (09) serao pretas ==>
acabou

Assim, se (02) for branca, sempre havera um triangulo monocromatico.

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B) (02) eh preta:

Se (08) for branca, entao (03), (08) e (10) serao brancas ==> 
acabou

Suponhamos que (08) seja preta.

Se (06) for preta, entao (02), (06) e (08) serao pretas ==>
acabou

Suponhamos que (06) seja branca.  

Se (05) for branca, entao (03), (05) e (06) serao brancas ==>
acabou

Suponhamos que (05) seja preta.

Se (09) for branca, entao (06), (09) e (10) serao brancas ==>
acabou

Por outro lado, se (09) for preta, entao (05), (08) e (09) serao pretas ==>
acabou.

Portanto, no caso em que (02) eh preta tambem estara assegurada a existencia de um triangulo monocromatico.


Um abraco,
Claudio.