[obm-l] Re: [obm-l] Soma de inversos de primos

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Essa prova e de Clarkson se eu nao me engano,e PAUL Erdös achou UUUUOTIMA!!!!!
A parte classica e as tecnicas do TNP.
-- Mensagem original --

>   Desculpem a demora. So' agora vi esta mensagem...
>   A prova mais classica se obtem "fatorando" infinito=1+1/2+1/3+1/4+...=
>=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...= 
>=Produto(p primo)(1-1/p)^(-1). Tirando o log o lado direito se parece com
>1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ..., que portanto diverge. Nao vou fazer
os
>detalhes dessa prova, devida ao Euler, a qual tem grande importancia
>teorica, mas vou mostrar outra prova, se nao me engano devida ao Erdos,
que
>e' muito bonita:
>   Suponha que soma(p primo)(1/p)<infinito. Entao existe C inteiro tal
que
>
>soma(p primo,p>C)(1/p) < 1/2. Dizemos que um primo p e' grande se p > C,
>e
>pequeno caso contrario. Dividimos os naturais em dois conjuntos: A e' o
>conjunto dos naturais com todos os fatores primos pequenos e B o conjunto
>dos naturais com algum fator primo grande. Tomamos agora n natural. O numero
>de naturais m no conjunto A com m <= n e' no maximo (lg(n))^C, onde lg
e'
>o
>logaritmo na base 2, pois ha' menos de C primos pequenos, e ao fatorar
um
>numero m <= n como produto de potencias de primos os expoentes nunca excedem
>lg(n). Por outro lado, para cada p grande, ha' no maximo n/p multiplos
de
>p
>entre 1 e n. Assim, o numero de naturais m no conjunto B com m <= n e'
no
>maximo n.soma(p primo,p>C)(1/p) < n/2. Assim, como todos os naturais m
com
>m
><= n estao em A ou em B, devemos ter (lg(n))^C+n/2 >= n, ou 2.lg(n)^C >=
>n
>para todo n natural, o que e' um absurdo.
>    Abracos,
>            Gugu
>     
>>
>>Como se calcula o limite (ou prova a divergência) da seqüência
>>
>>1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... que é a soma dos inversos de todos
primos
>>inteiros?
>>
>>Obrigado,
>>[]'s Bernardo
>>
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