Re: [obm-l] problemas1

Caro Claudio, fico muito grato com as soluções que vc me enviou. Elas me ajudam bastante a comprender a fundo os exercícios.

Infelizmente devo dizer que não consegui entender a sua solução para o problema das frações. Vc poderia enviar uma outra solução ou então detalhar mais como vc fez para resolve-la? Muito grato, Daniel

----- Original Message -----

From: Cláudio (Prática)

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Monday, March 24, 2003 5:20 PM

Subject: Re: [obm-l] problemas1

Oi, Daniel:

Dentre todas as frações da forma a/b com a, b inteiros; a maior que 0 e menor que b ,e a+b menor que 40, aquela mais próxima de 5/48 é tal que a+b vale: R: 32

O problema é minimizar | a/b - 5/48 | sujeito a 0 < a < b e a+b < 40

| a/b - 5/48 | = | 48a - 5b | / | 48b |

mdc(5,48) = 1 ==> o menor valor de | 48a - 5b | é igual a 1 e ocorrerá para:

a = 2 + 5m e b = 19 + 48m ( 48a - 5b = 1 ) para algum m inteiro

ou então

a = 3 + 5n e b = 29 + 48n ( 48a - 5b = -1 ) para algum n inteiro

No primeiro caso, teremos:

m = 0 ==> a = 2 e b = 19 ==> | a/b - 5/48 | = | 2/19 - 5/48 | = 1/(19*48) = 1/912

(todos os outros valores de m produzem valores de a e b que desobedecem às restrições)

No segundo caso, teremos:

n = 0 ==> a = 3 e b = 29 ==> | a/b - 5/48 | = | 3/29 - 5/48 | = 1/(29*48) = 1/1392

(idem)

Logo, o valor de a/b que melhor aproxima 5/48 e obedece às restrições é 3/29 ==>

3 + 29 = 32.

*************

A soma de todas as frações de numerador 1 e denominador 2, 3, 4, ..., n é tal que:

a)pode ser igual a 1992

b) pode ser igual a qualquer inteiro

c)nunca pode ser interiro para qualquer n

d)é irracional

e) é sempre menor que 1

Esse é um problema bem conhecido.

Ponha S = 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.

Agora, sejam:

2^k = maior potência de 2 que é <= n

e

P = 1*3*5*.... = produto dos ímpares positivos <= n

Então: 2^(k-1)*P*S é uma soma de (n-1) termos dos quais apenas um não é inteiro (justamente aquele que corresponde ao termo 1/2^k na soma original S).

Logo, 2^(k-1)*P*S não é inteiro ==>

S não é inteiro ==>

alternativa (c)

*****************

Sabendo que na equação SHE=(HE)^2, mesmas letras representam mesmos digitos e letras diferentes representam dígitos diferentes, o valor da soma S+H+E é igual a:

100*S + (HE) = (HE)^2 ==>

HE^2 - HE - 100*S = 0

Delta = 1 + 400*S = quadrado perfeito

Testando os 9 valores possíveis de S (1,2,...,9), teremos:

1 + 400*S = 2401 = 49^2 ==>

S = 6

Além disso, HE = (1 + raiz(Delta))/2 = (1 + 49)/2 = 25

Logo, SHE = 625 ==> S+H+E = 13.

R:13

Um abraço,

Claudio.