Re: [obm-l] Soma de inversos de primos

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Desculpem a demora. So' agora vi esta mensagem...
   A prova mais classica se obtem "fatorando" infinito=1+1/2+1/3+1/4+...=
=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...= 
=Produto(p primo)(1-1/p)^(-1). Tirando o log o lado direito se parece com
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ..., que portanto diverge. Nao vou fazer os
detalhes dessa prova, devida ao Euler, a qual tem grande importancia
teorica, mas vou mostrar outra prova, se nao me engano devida ao Erdos, que
e' muito bonita:
   Suponha que soma(p primo)(1/p)<infinito. Entao existe C inteiro tal que 
soma(p primo,p>C)(1/p) < 1/2. Dizemos que um primo p e' grande se p > C, e
pequeno caso contrario. Dividimos os naturais em dois conjuntos: A e' o
conjunto dos naturais com todos os fatores primos pequenos e B o conjunto
dos naturais com algum fator primo grande. Tomamos agora n natural. O numero
de naturais m no conjunto A com m <= n e' no maximo (lg(n))^C, onde lg e' o
logaritmo na base 2, pois ha' menos de C primos pequenos, e ao fatorar um
numero m <= n como produto de potencias de primos os expoentes nunca excedem
lg(n). Por outro lado, para cada p grande, ha' no maximo n/p multiplos de p
entre 1 e n. Assim, o numero de naturais m no conjunto B com m <= n e' no
maximo n.soma(p primo,p>C)(1/p) < n/2. Assim, como todos os naturais m com m
<= n estao em A ou em B, devemos ter (lg(n))^C+n/2 >= n, ou 2.lg(n)^C >= n
para todo n natural, o que e' um absurdo.
    Abracos,
            Gugu
     
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>Como se calcula o limite (ou prova a divergência) da seqüência
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>1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... que é a soma dos inversos de todos primos
>inteiros?
>
>Obrigado,
>[]'s Bernardo
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