Re: [obm-l] Re: [obm-l] fatorial

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Mais precisamente, n! e' assintoticamente n^n.e^(-n).sqrt(2.n.Pi), donde
o numero de casas de n! e' aproximadamente [n.Log n-n.Log(e)+Log(2.n.Pi)/2],
com erro de no maximo 1.
   Abracos,
           Gugu

>
>Dá pra fazer uma estimativas grosseiras. Do tipo
>Para q = 1, 2, 3, ..., n nós temos
>n^2/4 >= q(n-q) >= n, multiplicando todas essas desigualdades
>(n^2/4)^n >= (1.2.3...n)^2 >= n^n, tirando a raiz quadrada
>(n^2/4)^(n/2) >= n! >= n^(n/2), aplicando Log
>(n/2) Log n^2/4 >= Log n! >= (n/2) Log n
>
>Nós temos (n/2) Log n = 500 (3) = 1500 e
>(n/2) Log n^2/4 = 500 (6 - Log 4) < 3000.
>
>Portanto 1000! possui entre 1500 e 3000 casas decimais.
>
>Já é um começo...
>
>Para ter uma idéia mais precisa dá para usar integrais.
>Queremos calcular
>S = Log 1 + Log 2 + ... + Log n = (ln 1+...+ln n)/ln 10
>nós temos
>S ~ Int{ln(x), x=1...n}/ln 10 = (n ln n - n - 1)/ln 10
>Numa calculadora a gente encontra  2566, bem perto da resposta.
>
>
>Eduardo.
>
>
>n^(n/2) > n! > (n^2/4)^(n/2), daí
>n Log n > Log n! > (n/2) Log n
>
>From: <bmat@zipmail.com.br>
>> Bom, como ninguém respondeu antes, o número de casas de 1000! é 2568. Como
>> eu descobri? Aí está o truque. Eu acho que esse problema só dá pra
>resolver
>> com Log ( e de preferência em base 10). A idéia é fazer log(1000!) =
>somatório(log(x)
>> , 1<= x <= 1000 ) e então ver quanto dá. Eu fiz no Matlab com um
>programinha
>> e deu
>> 2567.604644222132264985702931880950927734375. Daí como o número de casas
>> de um número numa base b é igual ao valor inteiro de  log(x) na base b
>MAIS
>> UM, dá 2568.
>>
>> É isso. Se alguém por acaso tiver uma idéia de como calcular o número de
>> casas SEM ter que usar um computador, mande aí que eu também quero saber!
>>
>> Abraços,
>> Bernardo
>>
>> -- Mensagem original --
>>
>> >
>> >
>> >Vou tentar encerrar essa historia desse fatorial.
>> >
>> >2^5  *   5^5 = 10^5 termina por 5 zeros
>> >2^3  *  5^2 = 10^2  * 2  termina por dois zeros
>> >O que voce tem de descobrir eh a maior potencia de 10 contida na
>> >decomposiçao do numero. E claro que o expoente da portencia serah o
>> >menor dentre os expoentes de 2 e de 5 na decomposiçao do numero em
>> >fatores primos.
>> >
>> >Eh claro tambem que no caso de um fatorial o menor dos dois expoentes
>> >serah o expoente do 5 (ha muito mais multiplos de 2 do que de 5, de 1 a
>>
>> >1000).
>> >Vamos decompor o 1000! em fatores primos, desprezando os fatores
>> >diferentes de 5.
>> >
>> >1000! = 1* 2*3*4*5*6*...*1000 ~5*10*15*...*1000 =
>> >5*5*5*...*5*(1*2*3*...*200)~
>> >5^200 *  (1*2*3*...*200)~ 5^200 * (5*10*15*... *200) ~ 5^200  *
>> >5*5*5*...*5 *(1*2*3*...*40)
>> >=5^200  *  5^40 * (1*2*3*...*40) = 5^240 *(1*2*3*...*40) ~ 5 ^240
>> >(5*10*15*...*40) =
>> >5^240  *  5*5*5*...*5 *(1*2*3*...*8)  =  5^240 * 5^8  *(1*2*3*...*8)
>> >~5^240 * 5^8  * 5  = 5^249
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