[obm-l] Re: [obm-l] Questão IME 96

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Tcheka Republica" <rep_tcheka@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, March 25, 2003 1:55 PM
Subject: [obm-l] Questão IME 96


>
> Essa é uma questão do IME do ano de 1996.
> Gostaria que alguem ajudasse-me a resolve-la:
>
> Seja um octógono convexo. Supondo que quando todas as suas digonais são
> traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto.
> Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono ?
>
>
> Obrigado pela ajuda.
> Wander
>
>
Caro Wander:

O enunciado contém um erro, pois cada um dos 8 vértices do octógono é
extremidade de 5 diagonais - assim, não é possível que apenas 2 diagonais se
encontrem em cada ponto.

No entanto, vamos supor que o problema peça o número de pontos de interseção
de diagonais que não são vértices do octógono.

Nesse caso, começamos calculando o número de diagonais de um octógono
convexo - igual a 8*(8-3)/2 = 20.

Se cada par de diagonais se encontra num ponto, teremos que o número de
pontos de interseção será:
C(20,2) = 20*19/2 = 190.

No entanto, alguns desses pontos são justamente os vértices do octógono,
onde 5 diagonais se encontram. Assim, em cada vértice existirão C(5,2) =
5*4/2 = 10 pares de diagonais se encontrando.

Assim, devemos subtrair 8*C(5,2) = 80 do número que achamos anteriormente, o
que dará um total de:
190 - 80 = 110 pontos de interseção de diagonais que não são vértices.

Há um outro detalhe a se considerar: o problema pede o número de pontos de
interseções de diagonais NO octógono. Isso pode significar duas coisas:
i) o número de pontos NO PLANO do octógono, podendo algum ponto ser exterior
ao octógono  - nesse caso, vale a solução acima;

ou

ii) o número de pontos NO INTERIOR do octógono:

Aqui, o raciocínio é um pouco diferente.
Cada quatro vértices do octógono determinam um quadrilátero, o qual tem
apenas duas diagonais (as quais são também diagonais do octógono) que se
encontram num ponto, o qual é diferente para cada quadrilátero formado por
vértices do
octógono.

Assim, cada quadrilátero determina um ponto de interseção e vice-versa.
Além disso, cada 4 vértices determinam um quadrilátero e vice-versa.
Segue-se que:
número de pontos de interseção =
número de quadriláteros =
número de maneiras de se escolher 4 vértices dentre os 8 existentes =
C(8,4) = 8*7*6*5/(4*3*2*1) = 70 pontos de interseção de diagonais INTERIORES
ao octógono.


Um abraço,
Claudio.

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