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Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
Se bem me lembro prostaferese vem do grego,e e algo como somas em produtos.Tem umas rimas imbecis que ajudam a decorar.
Legal e demonstrar que seno e bom e cosseno e mau.Tem essa:sen(a+b)=sen a*cos b+sen b*cos a.Uma demonstraçao foi dada por Ptolomeu,usava aquele teorema de Ptolomeu(do inscritivel).A demo sem palavras ta no Exxcalibur mas tentem sozinhos.
Alias aquele cara que resolveu o de triangulo isosceles de 20 graus de base,onde ele se enfiou?Tenho uns desafios pro desdito.
Afemano <afemano@uol.com.br> wrote:
Aff hehehe vindo de vc, entao acho que errei e nem existe isso mesmo
eheheheh brincadeira..
Na verdade eu aprendi isso no cursinho.
Chama "Fórmulas de Prostaférese" e são as seguintes.
sena + senb = 2sen( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2 )
sena - senb = 2sen( (a-b)/2 )*cos( (a+b)/2)
cosa + cosb = 2cos( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2 )
cosa - cosb = -2sen( (a+b)/2 )*sen( (a-b)/2 )
Qualquer erro me corrijam. E eu tenho a demonstração dessas fórmulas.
Qualquer coisa fala ae que eu mando.
No caso do exercício, vc pularia aquela linha que eu destaquei.
Abraços.
----- Original Message -----
From: "Cláudio (Prática)"
To:
Sent: Friday, March 21, 2003 6:35 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
> Caro Afemano:
>
> Desculpe a minha ignorância mas eu não sei o que é "prostaferese".
>
> De qualquer forma, como o Dirichlet e o Stabel já falaram, bastava usar a
> continuidade de cos(x) para estabelecer a continuidade de sec(x) =
1/cos(x)
> (bem entendido, nos pontos em que cos(x) <> 0). Assim, de certa forma, o
que
> eu fiz foi provar que cos(x) é contínua.
>
> Quanto à passagem indicada, eu simplesmente expressei a e x como:
> a = (a+x)/2 + (a-x)/2
> e
> x = (a+x)/2 - (a-x)/2,
>
> em seguida, usei as fórmulas do cosseno da soma e da diferença de ângulos:
> cos(A +/- B) = cosAcosB -/+ senAsenB
>
> e simplifiquei, cancelando os termos cos((a+x)/2)*cos((a-x)/2) que tinham
> sinais opostos.
>
> Espero ter sido claro.
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> ----- Original Message -----
> From: "Afemano"
> To:
> Sent: Friday, March 21, 2003 5:16 PM
> Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
>
>
> > Ola, desculpe mas não entendi essa sua passagem que eu destaquei na
> solução.
> > Nao bastava aplicar prostaferese em cos(a) - cos(x) ?? Isso que vc fez é
> > algum tipo de "demonstrãção" de prostaferese ??
> >
> > Abraços.
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Cláudio (Prática)"
> > To:
> > Sent: Friday, March 21, 2003 3:30 PM
> > Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
> >
> >
> > > f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os
reais
> > que
> > > não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.
> > >
> > > Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
> > > f: A --> R
> > > f(x) = sec(x).
> > >
> > > Agora, seja "a" pertencente a A.
> > > Queremos provar que lim(x->a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
> > > lim(x->a) [sec(x) - sec(a)] = 0.
> > >
> > > sec(x) - sec(a) =
> > > 1/cos(x) - 1/cos(a) =
> > > [cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
> > >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> [cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 -
> > (a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
> > > -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
> > >
> > > Agora, fazendo x -> a, teremos que:
> > > lim(x->a) [sec(x) - sec(a)] =
> > > lim(x->a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
> > > -2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
> > > pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) <> 0
> > >
> > > Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x->a) sec(x)
=
> > > sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para
todo
> a
> > > em A.
> > >
> > > Espero que tenha ficado claro.
> > >
> > > Um abraço,
> > > Claudio.
> > >
> > > ----- Original Message -----
> > > From: "Marcelo Francisco da Silva"
> > > To:
> > > Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
> > > Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
> > >
> > >
> > > > Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
> > > f=sec(x).
> > > >
> > > > Obrigado,
> > > >
> > > >
> > > > Marcelo F. Silva
> > > >
> >
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> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > > O administrador desta lista é
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