Re: [obm-l] Re: [obm-l]_É_possivel_dividir?

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Coberturas de tabuleiros com poliminos e invariantes.Onde se ve coisas assim?

 "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> wrote:

On Sun, Mar 23, 2003 at 02:00:58PM -0300, André Riker wrote:
> É possivel dividir um retângulo 66 x 62 usando somente retângulos 12 x 1?

Não é possível.

Pense no seu retângulo como sendo formado por quadradinhos indexados
por dois inteiros i e j, 0 <= i < 66, 0 <= j < 62. Para cada quadradinho
considere o resto da divisão de (i+j) por 12: isso pode dar qualquer valor
inteiro k, 0 <= k < 12. Ora, cada retângulo 12 x 1 cobre um quadradinho
com cada um dos 12 valores de k possíveis logo se fosse possível cobrir
o retângulo grande com os retanglinhos finos então o número de quadradinhos
com cada valor de k seria o mesmo. Mas não é. Isso pode ser verificado na marra
mas eu prefiro dar uma solução algébrica.

Considere o polinômio
P(X) = (1 + X + X^2 + ... + X^65)(1 + X + X^2 + ... + X^61)
= (1 - X^66)(1 - X^62)/((1 - X)^2)

Seja z = exp(2 pi i/12). Se os números de quadradinhos nas doze classes
fossem iguais teríamos, juntando os termos no produto acima, P(z) = 0.
Mas P(z) = (1 - z^6)(1 - z^2)/((1 - z)^2) claramente não é igual a 0.

[]s, N.
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