Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Afemano:

Desculpe a minha ignorância mas eu não sei o que é "prostaferese".

De qualquer forma, como o Dirichlet e o Stabel já falaram, bastava usar a
continuidade de cos(x) para estabelecer a continuidade de sec(x) = 1/cos(x)
(bem entendido, nos pontos em que cos(x) <> 0). Assim, de certa forma, o que
eu fiz foi provar que cos(x) é contínua.

Quanto à passagem indicada, eu simplesmente expressei a e x como:
a = (a+x)/2 + (a-x)/2
e
x = (a+x)/2 - (a-x)/2,

em seguida, usei as fórmulas do cosseno da soma e da diferença de ângulos:
cos(A +/- B) = cosAcosB -/+ senAsenB

e simplifiquei, cancelando os termos cos((a+x)/2)*cos((a-x)/2) que tinham
sinais opostos.

Espero ter sido claro.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Afemano" <afemano@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 21, 2003 5:16 PM
Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)


> Ola, desculpe mas não entendi essa sua passagem que eu destaquei na
solução.
> Nao bastava aplicar prostaferese em cos(a) - cos(x) ?? Isso que vc fez é
> algum tipo de "demonstrãção" de prostaferese ??
>
> Abraços.
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, March 21, 2003 3:30 PM
> Subject: Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
>
>
> > f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os reais
> que
> > não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.
> >
> > Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
> > f: A --> R
> > f(x) = sec(x).
> >
> > Agora, seja "a" pertencente a A.
> > Queremos provar que lim(x->a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
> > lim(x->a) [sec(x) - sec(a)] = 0.
> >
> > sec(x) - sec(a) =
> > 1/cos(x) - 1/cos(a) =
> > [cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> [cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 -
> (a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
> > -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]
> >
> > Agora, fazendo x -> a, teremos que:
> > lim(x->a) [sec(x) - sec(a)] =
> > lim(x->a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
> > -2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
> > pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) <> 0
> >
> > Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x->a) sec(x) =
> > sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para todo
a
> > em A.
> >
> > Espero que tenha ficado claro.
> >
> > Um abraço,
> > Claudio.
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Marcelo Francisco da Silva" <marcelo@oncocamp.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
> > Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)
> >
> >
> > > Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
> > f=sec(x).
> > >
> > > Obrigado,
> > >
> > >
> > > Marcelo F. Silva
> > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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