Re: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

f(x) = sec(x) não é definida para todo x real, mas apenas para os reais que
não sejam iguais a múltiplos ímpares de Pi/2.

Assim, se A = R - { (2k+1)*Pi/2, k em Z }, teremos:
f: A --> R
f(x) = sec(x).

Agora, seja "a" pertencente a A.
Queremos provar que lim(x->a) sec(x) = sec(a), ou seja que:
lim(x->a) [sec(x) - sec(a)] = 0.

sec(x) - sec(a) =
1/cos(x) - 1/cos(a) =
[cos(a) - cos(x)]/[cos(a)*cos(x)] =
[cos((a+x)/2 + (a-x)/2) - cos((a+x)/2 - (a-x)/2)]/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)]

Agora, fazendo x -> a, teremos que:
lim(x->a) [sec(x) - sec(a)] =
lim(x->a) -2*sen((a+x)/2)*sen((a-x)/2)/[cos(a)*cos(x)] =
-2*sen(a)*sen(0)/[cos(a)*cos(a)] = 0,
pois sen(0) = 0 e cos(a) = 1/sec(a) <> 0

Como a é um elemento arbitrário de A, concluímos que lim(x->a) sec(x) =
sec(a) para todo a em A, ou seja, que f(x) = sec(x) é contínua para todo a
em A.

Espero que tenha ficado claro.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Marcelo Francisco da Silva" <marcelo@oncocamp.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 21, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] prova por limite da continuidade da f(x)=sec(x)


> Gostaria de saber como provar por limite a continuidade da função
f=sec(x).
>
> Obrigado,
>
>
> Marcelo F. Silva
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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