[obm-l] Primos com média 27(141 e primo? - Não, mas 137 é!)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: <peterdirichlet1985@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 14, 2003 1:24 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primos com média 27(141 e primo?)


> Mas desde quando 141=3*47 e primo?
>
> -- Mensagem original --
>


Ops! Que mancada!!!! Obrigado, JP.

Veja a solução revisada a seguir - é exatamente igual à anterior, só que em
vez de parar em 141, que não é primo, vai um único passo além e chega em
137, que é primo com certeza!!!

Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn.

Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn.

Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos
chamá-los de "primos inferiores". Todos os demais serão "primos superiores".

A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média composta do maior número
possível de primos inferiores e do menor número possível de primos
superiores. Assim, vamos ver se damos a sorte de ter todos os 9 primos
inferiores e apenas um primo (Pn) superior incluído na média.

27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> não é primo

Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, começando com o
mais alto (23):

27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> não é primo

Além disso, a má notícia é que eliminando um único primo inferior ímpar, nós
sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar um
primo inferior, ele só pode ser o 2. Vejamos:

27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn  ==> Pn = 145 ==> não é primo.

O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores de cada vez. Começando
com os dois mais altos (19 e 23), teremos:

27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> não é primo

Além disso, da mesma forma que acima, concluímos que eliminando qualquer par
de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá que ser necessariamente
eliminado.

Vamos eliminar 2 e 23:
27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> não é primo (como o JP bem
observou)

2 e 19:
27*8 = 3+5+...+17+23+Pn = 79+Pn ==> Pn = 137 ==> esse é primo....

A fim de completar a análise, devemos considerar o caso em que há 2 ou mais
primos superiores compondo a média.
Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e n primos superiores (n >=
2). Então:

27*(m+n) = m*Minf + n*Msup  (Minf (Msup) = média dos primos inferiores
(superiores) ) ==>
Msup = (27*(m+n) - m*Minf)/n = (27 - Minf)*m/n + 27

Não é difícil ver que o maior valor possível de (27 - Minf)*m ocorre
justamente quando todos os 9 primos inferiores estão presentes ==> (27 -
Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143

Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos superiores é menor ou igual a
143/n + 27 ==> uma função decrescente de n.

Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 + 27 =
98,5 < 137.

Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que 137 ==> a sequencia de
primos distintos com média igual a 27 tem apenas um primo superior, igual a
137.


Um abraço,
Claudio.



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