[obm-l] Re: [obm-l] Primos com média 27(141 e primo?)

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Mas desde quando 141=3*47 e primo?

-- Mensagem original --

>Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn.
>
>Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn.
>
>Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos chamá-los
>de "primos inferiores". Todos os demais serão "primos superiores".
>
>A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média composta do maior número possível
>de primos inferiores e do menor número possível de primos superiores. Assim,
>vamos ver se damos a sorte de ter todos os 9 primos inferiores e apenas
um
>primo (Pn) superior incluído na média.
>
>27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> não é primo
>
>Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, começando com
>o mais alto (23):
>
>27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> não é primo
>
>Além disso, a má notícia é que eliminando um único primo inferior ímpar,
>nós sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar
>um primo inferior, ele só pode ser o 2. Vejamos:
>
>27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn  ==> Pn = 145 ==> não é primo.
>
>O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores de cada vez. Começando
>com os dois mais altos (19 e 23), teremos:
>
>27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> não é primo
>
>Além disso, da mesma forma que acima, concluímos que eliminando qualquer
>par de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá que ser necessariamente
>eliminado.
>
>Vamos eliminar 2 e 23:
>
>27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> primo (enfim!!!).
>
>Assim, se existe um único primo superior na média, o seu valor máximo é
141.
>
>
>A fim de completar a análise, devemos considerar o caso em que há 2 ou
mais
>primos superiores compondo a média.
>Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e n primos superiores
(n
>>= 2). Então:
>
>27*(m+n) = m*Minf + n*Msup  (Minf (Msup) = média dos primos inferiores
(superiores)
>) ==>
>Msup = 27*(m+n) - m*Minf = (27 - Minf)*m/n + 27
>
>Não é difícil ver que o maior valor possível de (27 - Minf)*m ocorre justamente
>quando todos os 9 primos inferiores estão presentes ==> (27 - Minf)*m =
27*m
>- Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143
>
>Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos superiores é menor ou igual
>a 143/n + 27 ==> uma função decrescente de n.
>
>Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 +
27
>= 98,5 < 141.
>
>Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que 141 ==> a sequencia
de
>primos distintos com média igual a 27 tem apenas um primo superior, igual
>a 141.
>
>
>Um abraço,
>Claudio.
>  ----- Original Message ----- 
>  From: DEOLIVEIRASOU@aol.com 
>  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>  Sent: Tuesday, March 11, 2003 12:49 AM
>  Subject: [obm-l] (nenhum assunto)
>
>
>  Quem sabe esse???
>  A média aritmética de uma quantidade de primos distintos é 27. Determine
>o maior número dessa sequencia. Agradeço quem fizer ou der uma sugestão.
>         Crom. 


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