[obm-l] problemas sobre conjuntos em R^n

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Para os que curtem alguns fundamentos topológicos , sugiro os seguintes
problemas. 
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n se
qualquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos de
E (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontos
de condensação de E. Mostre que

1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta
automaticamente que E não é numerável sse P não for vazio)
2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação do
mesmo (E inter complementar de P) é numerável
3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos de
acumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto de
condensação do mesmo .
4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P
5) O fecho de E inter P é o próprio P
6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjunto
perfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntos
seja vazio) Estew é o Teorema de Cantor-Bendixon

Estas 5 afirmações valem, na realidade, em qualquer espaço métrico
separável
Para demonstrarmos as afirmações, observemos que todo conjunto aberto de
R^n pode ser dado por uma união numerável de bolas abertas. A coleção
das bolas abertas de centro em elementos com coordenadas racionais e
raios racionais é uma base numerável de R^n.

Um abraço para todos
Artur 

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