[obm-l] problemas sobre conjuntos em R^n

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Para os que curtem alguns fundamentos topol�gicos , sugiro os seguintes
problemas. 
Definamos x como ponto de condensa��o de um subconjunto E de R^n se
qualquer vizinhan�a V de x contiver um n�mero incont�vel de elementos de
E (isto �, se V inter E n�o for numer�vel). Seja P o conjunto dos pontos
de condensa��o de E. Mostre que

1) E � numer�vel se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta
automaticamente que E n�o � numer�vel sse P n�o for vazio)
2) O conjunto dos elementos de E que n�o s�o pontos de condensa��o do
mesmo (E inter complementar de P) � numer�vel
3) P � perfeito (� fechado e todos seus elementos s�o pontos de
acumula��o do mesmo). Na realidade, todo elemento de P � ponto de
condensa��o do mesmo .
4)Todo elemento de P � ponto de condensa��o de E inter P
5) O fecho de E inter P � o pr�prio P
6) Todo conjunto fechado � dado pela uni�o disjunta de um conjunto
perfeito com um conjunto numer�vel (podendo ser que um destes conjuntos
seja vazio) Estew � o Teorema de Cantor-Bendixon

Estas 5 afirma��es valem, na realidade, em qualquer espa�o m�trico
separ�vel
Para demonstrarmos as afirma��es, observemos que todo conjunto aberto de
R^n pode ser dado por uma uni�o numer�vel de bolas abertas. A cole��o
das bolas abertas de centro em elementos com coordenadas racionais e
raios racionais � uma base numer�vel de R^n.

Um abra�o para todos
Artur 

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