RE: [obm-l] EDO

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Não me lembro bem, mas acho que é algo assim:

Suponha que o corpo seja ejetado verticalmente do solo com velocidade
inicial V0. Sobre ele atuarão seu peso P = mg e a resitência do ar, que
admitiremos ser um vetor de magnitude proporcional à velocidade do corpo e
de sentido contrário a esta. Sendo k a constante de proporcionalidade, as
leis de Newton nos dizem que, no instante t após o lançamento do corpo,
temos:
-mg - kv = ma    m - massa do corpo, v - velocidade , a - aceleração  ,
supondo-se tais grandezas cinsideradas em um eixo vertical orientado
positivamente para cima. Dado que a = dv/dt, segue-se que -mg - kv = m
dv/dt. É uma equ. diferencial de variáveis separáveis.  Fazendo-se c = k/m,
obtemos dv/(g + cv) = -dt. Integrando-se os dois membros de V0 a v e de 0 a
t, obtemos  [Ln(g+cv) - Ln(g+cV0)] /c  = -t  Fazendo -se K = g+cV0, vem g+cv
= K e^(-ct) e v = [K e^(-ct) - g]/c. Integrando-se membro a membro obtemos a
altura y em função de t. y = [K/c(1-e^(-ct)) -gt]/c. Estamos considerando y0
= 0. Em um instante T, v se anula. Logo K e(-cT) = g, -> -cT = Ln(g/K) -> T
= Ln(K/g)/c. Neste instante T, devemos ter y = H, onde H , cujo valor não me
lembro, é altura que leva ao escape. Agora, é só álgebra. Entrando com T na
equação de y = y(t) e considerando que K depende de V0, resolvemos a equação
e obtemos o valor de V0 para \haver o escape.

Uma outra possível solução seria determinar diretamente v em função de y por
-g - cv = dv/dt = dv/dx . dx/dt (regra da cadeia) = v dv/dx. Mas acho que a
integral fica mais complicada.
Espero ter ajudado 
Um abraço
Artur 

. 
Alguém poderia me dar uma demonstração do método de obtenção da velocidade
de escape de um corpo a partir da segunda lei de Newton. Sei que é através
de uma equação diferencial de segunda ordem.
 
Desde já agradeço.
 
Hamilton Rodrigues.

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