Re: [obm-l] Probleminhas legais

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> 2. Considere f:Q -> Q tal que f(x + f(y)) = f(x).f(y) para todo x,y
pertencentes
> a Q. Prove que f é constante.

seja f : Q -> Q
f(x + f(y)) = f(x).f(y)


i) suponha que existe x0 tq. f(x0) = 0
f(a + f(x0)) = f(a + 0) = f(a)
f(a + f(x0)) = f(a).f(x0) = f(a).0 = 0
logo f(a) = 0 para todo a, sendo assim, f(x) = 0, logo f é constante

ii) suponha que existe y0 tq. f(y0) = 1
f(x + f(y0)) = f(x).f(y0) ou seja f(x + 1) = f(x) para todo x
f(y0 + f(x)) = f(y0).f(x) = f(x)
f(n.y0 + f(x)) = f(x) para todo n >= 1 inteiro
seja f(x0) = a != 1
f(n.y0 + a) = f(x0) = a

suponha y0 = u/v com u, v inteiros
f(v.y0 + a) = f(u + a) = a
mas f(u + a) = f(u - 1 + a) = ... = f(a)
f(a) = a
f(a + f(a)) = f(a).f(a) = f(a)² = a^2
f(n.a) = a^n para n >= 1 inteiro
se a = w/z com w, z inteiros
f(z.a) = f(w) = a^z
f(2z.a) = f(2w) = a^(2z), mas f(2w) = f(2w - 1) = ... = f(w)
logo a^z = a^(2z) => a^z = 1 => a = 1 (pois z != 0), mas a != 1 logo f(x) =
1.

seja f(0) = c != 0 (estamos excluindo o caso i)

seja n >= 1 inteiro:
f(x + n.f(y)) = f(x + (n-1).f(y) + f(y)) = f(x + (n-1).f(y)).f(y)
ou seja:
f(x + n.f(y)) = f(x).f(y)^n

seja y0 tq. f(y) = a/b != 0
f(-a + b.f(y)) = f(-a).f(y)^b
f(-a + b.(a/b)) = f(0) = c = f(-a).(a/b)^b

f(-a) = c.(b/a)^b

mas f(y) = (m.a)/(m.b) para qualquer inteiro m != 0, logo
f(-a) = c(m.b/m.a)^(m.b) = c.(b/a)^(m.b)
logo:
c.(b/a)^b = c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^(3b) = ...
como c != 0 e b/a != 0
c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^b.(b/a)^b = c.(b/a)^b
(b/a)^b = 1
logo b/a = 1 e f(y) = 1, caímos no caso (ii), logo f é constante!

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