Re: [obm-l] Probleminhas legais

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> 1. O produto de alguns primos é igual a 10 vezes  a soma desses primos.
> Quais são esses primos( não necessariamente distintos)?

sejam p1, p2 ... p[n] tais primos:

(p1 + p2 + ... + p[n]).2.5 = p1.p2.p3...p[n]
assuma sem perda de generalidade então que p1 = 2 e p2 = 5 já que esses dois
primos devem aparecer em ambos os lados.
7 + p3 + p4 + ... + p[n] = p3.p4...p[n]
2 + 3 = 5 < 2 * 3 = 6
tome r, s >= 0 inteiros
(2 + r) + (3 + s) = 5 + r + s
(2 + r).(3 + s) = 6 + r*s + 3r + 2s
é evidente que (2 + r) + (3 + s) < (2 + r).(3 + s)
isso nos demonstra a idéia intuitiva de que o produto de dois primos que não
sejam 2 e 2 é maior que a soma desses mesmos primos!
essa idéia segue para um número maior de fatores também:
2 + 2 + 2 + ... + 2 = k*2
2*2*2...*2 = 2^k
k*2 < 2^k para todo k > 2
sejam r1, r2, ... rk >= 0 inteiros e pelo menos um k[i] >= 1
(2 + r1)(2 + r2)...(2 + rk) > 2^k + r1 + r2 + ... + rk > 2*k + r1 + r2 + ...
+ rk = (2 + r1) + (2 + r2) + ... + (2 + rk)

sendo assim, como
7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15 < 2^4 = 16
não deve haver mais do que 4 primos além de p1 e p2
7 + 2 + 2 + 2 + 3 = 16 < 2^3*3 = 24, logo não há mais do que 3 primos além
de p1 e p2
7 + 2 + 2 + 3 = 14 != 2*2*3 = 12
7 + 2 + 3 + 3 = 15 < 2*3*3 = 18, logo não há mais do que 2 primos além de p1
e p2, mas obviamente com 1 primo só eu nunca vou ter 7 + p3 = p3, logo se
existe solução ela possui exatamente 4 primos
7 + 2 + 3 = 12 != 2*3 = 6
7 + 3 + 3 = 13 != 3*3 = 9
7 + 2 + 5 = 14 != 2*5 = 10
7 + 3 + 5 = 15 == 3*5
essa é a única solução, pois, como vimos, para r1, r2 >= 0, (3 + r1).(5 +
r2) = 3 + 5 + r1 + r2 <=> r1 = r2 = 0

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2.3.5.5 = 150 = 10(2 + 3 + 5 + 5)

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