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[obm-l] Re: [obm-l] D�vida em demonstra��o
On Wed, Feb 26, 2003 at 04:15:10AM -0300, Henrique Branco wrote:
> Discutindo com um amigo meu sobre a demonstra��o das propriedades do
> logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Anal�tica", do
> Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova
> encontrada no livro citado e depois discutir.
>
> Propriedade:
> Se p > 0 e q > 0
> log(p*q) = log(p) + log(q)
>
> Demonstra��o: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x
> (isso � f�cil ver se derivarmos os logs, p > 0). Ent�o, um teorema garante
> que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui
> come�a a discuss�o), o autor faz x = 1. Como log(1) = 0, temos:
>
> log(p) = log(1) + C => C = log(p) (2)
>
> Substituindo (2) em (1), temos:
> log(p*x) = log(x) + log(p)
>
> Como q > 0 est� no dom�nio do log, podemos tomar x = q e a prova est�
> conclu�da: log(p*q) = log(p) + log(q)
A demonstra��o est� correta. Os prerequisitos s�o:
Se f(x) = log x ent�o f'(x) = 1/x
o que pode ser tomado como defini��o de log (alguns livros fazem isso) e
Se f: (0,+infty) -> R � deriv�vel em todo ponto do dom�nio
com f'(x) = 0 (para todo x no dom�nio) ent�o f � constante.
Este deve ser o 'um teorema' de que voc� fala. � comum em cursos de c�lculo
apresentar isso como conseq��ncia do Teorema do Valor M�dio (o que � correto)
mas a maioria dos alunos e alguns professores perdem o sequenciamento l�gico
dos resultados, aprende que f' = 0 implica f constante mas n�o sabe mais pq
e fica achando o TVM uma tecnicalidade.
> Agora, a confus�o deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a
> constante e substituir na express�o. Meu amigo diz que essa demonstra��o n�o
> � rigorosamente v�lida pois ele n�o a demonstrou para todo x, apenas para x =
> 1.
N�o entendi o pensamento do seu amigo. Demonstramos que existe uma constante
C tal que log(px) = log x + C para todo x e n�o � muito dif�cil achar C.
Talvez o fato importante seja que C pode depender de p mas n�o depende de x.
> Eu disse que, uma vez que a fun��o log est� definida para todo x > 0, ent�o
> n�o haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma
> "propriedade" de todos os outros pontos do dom�nio (existe algum teorema que
> garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de C�lculo",
> tamb�m usou desse artif�cio, considerando uma fun��o definida em [a,b] e
> tomando x = a).
Isto n�o � um teorema, � o pr�prio conceito de 'para todo'.
Se vale para todo x, vale para x=1. Tamb�m vale para x=2 e x=3.
Se n�o valesse para x=1 n�o valeria para todo x.
[]s, N.
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