[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em demonstração

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Feb 26, 2003 at 04:15:10AM -0300, Henrique Branco wrote:
> Discutindo com um amigo meu sobre a demonstração das propriedades do
> logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Analítica", do
> Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova
> encontrada no livro citado e depois discutir.
> 
> Propriedade:
> Se p > 0 e q > 0
> log(p*q) = log(p) + log(q)
> 
> Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x
> (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p > 0). Então, um teorema garante
> que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C.  Nesse momento (e aqui
> começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1) = 0, temos:
> 
> log(p) = log(1) + C => C = log(p) (2)
> 
> Substituindo (2) em (1), temos:
> log(p*x) = log(x) + log(p)
> 
> Como q > 0 está no domínio do log, podemos tomar x = q e a prova está
> concluída: log(p*q) = log(p) + log(q)

A demonstração está correta. Os prerequisitos são:

  Se f(x) = log x então f'(x) = 1/x

o que pode ser tomado como definição de log (alguns livros fazem isso) e

  Se f: (0,+infty) -> R é derivável em todo ponto do domínio
  com f'(x) = 0 (para todo x no domínio) então f é constante.

Este deve ser o 'um teorema' de que você fala. É comum em cursos de cálculo
apresentar isso como conseqüência do Teorema do Valor Médio (o que é correto)
mas a maioria dos alunos e alguns professores perdem o sequenciamento lógico
dos resultados, aprende que f' = 0 implica f constante mas não sabe mais pq
e fica achando o TVM uma tecnicalidade.

> Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a
> constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não
> é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x =
> 1.

Não entendi o pensamento do seu amigo. Demonstramos que existe uma constante
C tal que log(px) = log x + C para todo x e não é muito difícil achar C.
Talvez o fato importante seja que C pode depender de p mas não depende de x.

> Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x > 0, então
> não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma
> "propriedade" de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que
> garante isso?  inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de Cálculo",
> também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e
> tomando x = a).

Isto não é um teorema, é o próprio conceito de 'para todo'.
Se vale para todo x, vale para x=1. Também vale para x=2 e x=3.
Se não valesse para x=1 não valeria para todo x.

[]s, N.

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