Re: [obm-l] Esfera Furada

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

O interessante nesse problema é justamente a aparência estar mal
determinado.

Uma solução diferente da do Nicolau, mas que usa uma fórmula pronta para o
volume de uma calota (a qual pode ser obtida via cálculo integral, por
exemplo - em si só um bom exercício - ou então consultando algum livro de
geometria espacial) é a seguinte:

Sejam:
R = raio da esfera
r = raio do furo
h = altura da calota = R - 6

Além disso, por Pitágoras temos que: r^2 = R^2 - 6^2

Volume da Esfera = (4/3)*Pi*R^3

Volume do Cilindro = Pi*r^2*12 = 12*Pi*(R^2 - 36)

Volume de cada Calota = (1/3)*Pi*h^2*(3R-h) =
(1/3)*Pi*(R-6)^2*(2R+6) = (1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216)

Assim, usando que:
Vol(Esfera Furada) =
Vol(Esfera) - Vol(Cilindro) - 2*Vol(Calota), teremos:

Vol(Esfera Furada) =
(4/3)*Pi*R^3 - 12*Pi*(R^2 - 36) - 2*(1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) =
Pi*(4*R^3/3 - 12*R^2 + 432 - 4*R^3/3 + 12*R^2 - 144) =
Pi*288 cm^3.

*************

Um outro problema, bem mais fácil, que também parece estar mal determinado é
o seguinte:

Sejam duas circunferências concêntricas. Uma reta é tangente à
circunferência interna no ponto A e intercepta a externa no ponto B. Sabendo
que AB mede "a", calcule a área do anel compreendido entre as duas
circunferências.


Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, February 21, 2003 2:32 PM
Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada


> On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> > Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas.
> > 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) ==> portanto, não é o
> > diâmetro da esfera.
>
> Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R).
> Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm).
> O sólido assim não está bem determinado;
> será que seu volume independe dos dados que estão faltando?
> Surpreendentemente sim.
>
> Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro
> (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z
> é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2).
> Integrando de -6 a 6 temos
>
> Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3
>
> Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino,
> cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria,
> com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez
> de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do
> volume do prismóide (integração por Simpson),
>
> Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h
>
> onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da
> base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi)
> e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação
> que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é
> correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada
> por um polinômio em z de grau <= 3).
>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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