Re: [obm-l] Esfera Furada

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas.
> 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) ==> portanto, não é o
> diâmetro da esfera.

Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R).
Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm).
O sólido assim não está bem determinado;
será que seu volume independe dos dados que estão faltando?
Surpreendentemente sim.

Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro
(digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z
é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2).
Integrando de -6 a 6 temos

Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3

Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino,
cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria,
com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez
de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do
volume do prismóide (integração por Simpson), 

Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h

onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da
base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi)
e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação
que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é
correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada
por um polinômio em z de grau <= 3).

[]s, N.
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