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[obm-l] Matriz de Hilbert

Agora estou as voltas de inverter essa joça bendita.Como inverter e uma tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta emoçao...)So pra nao esquecer:

O determinante é:

1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/
(2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n *
(n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2n

Uma demonstração boa está aqui

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat

 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> wrote:

Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:
 
Não tenho a solução ainda, mas acho que uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como os x's num polinômio).
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)).
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n variáveis X(i), Y(j)  (1 <= i,j <= n)
 
Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) ==>
grau(denominador) = n^2;
 
2) O numerador de det(B) será divisível por [X(j) - X(i)] e [Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 <= i < j <= n.
 
A afirmativa (2) terá levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n.
 
Entretanto, det(B) é igual à soma algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador)  ==>
 -n = grau(numerador) - n^2  ==>
grau(numerador) = n^2 - n  ==>
 
numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
                         1 <= i < j <= n
onde K é uma constante.
 
Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.
 
Vou pensar um pouco mais.
 
Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.
 
PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe duro....você acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu não.....
 
----- Original Message -----
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...


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