[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Luís:

Aqui vão minhas soluções. Estou muito mais confiante na do segundo do que na
do primeiro.
>
> Problem 1.1.19 For which positive numbers
> a and b, with a>1, does the equation
> log_a x = x^b have a positive solution for x?
>

Suponhamos a fixo (a > 1, de forma que ln(a) > 0).
O maior valor de b para o qual a equação tem solução é tal que as curvas:
y = log_a(x)  e  y = x^b são tangentes.

dlog_a(x)/dx = 1/(x*ln(a))
d(x^b)/dx = b*x^(b-1)

Igualando as derivadas:
1/(x*ln(a)) = b*x^(b-1) ==> x^b = 1/(b*ln(a))  ==> x = 1/(b*ln(a))^(1/b)

Assim, as curvas terão a mesma inclinação para x0 = 1/(b*ln(a))^(1/b)

Se as curvas são tangentes, a equação tem solução única x = x0. Assim:
log_a(x0) = (-1/b)*log_a(b*ln(a))
x0^b = 1/(b*ln(a))

x0^b = log_a(x0) ==>
-1/ln(a) = log_a(b*ln(a)) = ln(b*ln(a))/ln(a) ==>
ln(b*ln(a)) = -1 ==>
b*ln(a) = 1/e ==>

Assim, dado a > 1, a equação terá solução para todo b tal que 0 < b <=
1/(e*ln(a)).

**************

> Problem 1.1.20 Which number is larger,
> pi^3 or 3^{pi} ?
>
Acho que a idéia é usar a mesma função que o Nicolau usou no problema
abaixo:
f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x)  ==>
f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x)  ==>
f é crescente até e e decrescente a partir de e.
Como e < 3 < pi, teremos:
3^(1/3) > pi^(1/pi) ==> 3^pi > pi^3

Um abraço,
Claudio.

P.S.: Você é o Luís Lopes dos Manuais de Indução Matemática e Funções
Exponenciais e Logarítmicas?
>
> -----Mensagem Original-----
> De: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 08:33
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação
>
>
> > On Fri, Feb 14, 2003 at 07:47:00PM -0500, Lltmdrtm@aol.com wrote:
> > > Quem é maior e ^ pi  ou  pi ^ e  ???
> >
> > O interessante é fazer isso sem calculadora.
> >
> >
> > Considere a função f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x).
> > Derivando, f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x)
> >
> > Assim f é crescente até e e decrescente a partir de e.
> > Donde e^(1/e) > pi^(i/pi).
> > Elevando os dois lados a (pi e) temos e^pi > pi^e.
> >
> > []s, N.
> >
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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