[obm-l] Re: [obm-l] verificação de existência

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Pichurin:

> tem-se a detreminante da matriz:
> | Xa Ya 1 |
> | Xb Yb 1 |
> | Xc Yc 1 |
> em que Xk e Yk indicam a posição de um ponto qualquer.
> Caso a determinante seja diferente de zero, temos que
> os pontos a, b e c não estão alinhados.Divide-se o
> valor do módulo da determinate por2 e temos a área de
> um triângulo.
> Se quisermos calcular o volume de um sólido formado
> por quatro pontos, pode-se utilizar um método análogo
> ao anterior numa matriz 4X4, trabalhando com os eixos
> x, y e z, e dividindo-se o valor encontrado por
> 6?Demonstre isso.
>
>
Na verdade, basta um determinante 3x3, da seguinte forma:
|  x1  y1  z1  |
|  x2  y2  z2  |
|  x3  y3  z3  |

(xi,yi,zi) = (X(i+1),Y(i+1),Z(i+1)) - (X1,Y1,Z1), para i = 1, 2, 3, onde os
seus quatro pontos originais são
(Xk,Yk,Zk) k = 1, 2, 3, 4. Isso foi apenas uma translação de modo a fazer a
nova origem dos eixos cartesianos coincidir com o ponto de coordenadas
(X1,Y1,Z1) no antigo sistema de eixos. Portanto, o volume não se altera.

Em termos do seu determinante 4x4 original, tudo o que você fez com a
translação de eixos foi subtrair a primeira linha das outras três, o que
colocou zeros nas posições A(2,4), A(3,4) e A(4,4) e reduziu o cálculo do
determinante 4x4 ao de um determinante 3x3.

O valor absoluto do determinante acima é igual ao volume do paralelepípedo
cujas arestas que se encontram na origem (um dos vértices) são representadas
pelos vetores (xi,yi,zi), i = 1,2,3.
Demonstração:
Chamando os vetores de V1, V2 e V3, o determinante nada mais é do que o
valor do Produto Misto de V1, V2 e V3, definido por: P = V1 o (V2 x V3),
onde "o" é o operador "produto escalar" e "x" é o operador "produto
vetorial".

O que nos interessa é |P| (valor absoluto de P), que é igual a |V1| * |V2| *
|V3| * sen(A) * cos(B), onde:
A = ângulo entre V2 e V3; e
B = ângulo agudo entre V1 e qualquer reta normal ao plano definido por V2 e
V3 (e pela origem)

Mas |V2|*|V3|*sen(B) é igual à área do paralelogramo cujos lados medem |V2|
e |V3|, e |V1|*cos(B) é comprimento da projeção de V1 sobre alguma reta
normal ao paralelogramo, ou seja, a altura do paralelepípedo definido por
V1, V2 e V3 relativa à face (paralelogramo) definida por V2 e V3. Logo,
concluímos que |P| é, de fato, igual ao volume do paralelepípedo.
*********

|P|/6 = (1/3)  *  (1/2)*[|V2|*|V3|*sen(A)]  *  |V1|*cos(B) = volume da
pirâmide cuja base é um triângulo com um vértice na origem e os outros dois
nas extremidades dos vetores V2 e V3 (portanto, a área da base é igual à
metade da área do paralelogramo = (1/2)*[|V2|*|V3|*sen(A)]  ) e cuja altura
(relativa àquela base) tem comprimento igual a |V1|*cos(B).

Um abraço,
Claudio.

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