[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas básicas...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 13, 2003 at 08:42:40PM -0300, Henrique Branco wrote:
> Pessoal,
> Tenho duas dúvidas que são bem básicas...
> Existe alguma demonstração (formal, de preferencia) sobre x^0 = 1 e 0! = 1?

Isto são definições, não é possível propriamente demonstrá-las.
O que se pode fazer é mostrar pq estas são as definições apropriadas,
as únicas que levam certas propriedades a serem satisfeitas.

Por exemplo, se você desejar que a propriedade x^(a+b) = x^a x^b
seja sempre satisfeita, você deve ter x^0 = x^0 x^0 donde x^0 = 0 ou 1.
Mas se x^0 = 0 temos x^a = x^0 x^a = 0 para todo a,
o que não é muito interessante...

Analogamente, você provavelmente gosta da fórmula (n+1)! = n! (n+1).
Desta fórmula sai que 1! = 0! * 1; 2! = 0! * 1 * 2; e a única forma
de obtermos os valores esperados 2!=2, 3!=6 é definir 0!=1.

Outra idéia é levar interpretações combinatórias até casos degenerados.
Por exemplo, se a e b são inteiros positivos podemos escrever a^b = |F(B,A)|,
onde A e B são conjuntos arbitrários com a e b elementos, respectivamente,
e F(B,A) é o conjunto das funções de domínio B e contradomínio A.
Ora, se B for vazio, o que é F(B,A)? É um conjunto com um único elemento,
a função vazia. Eu vou dar os valores dela em todos os elementos de B;
pronto, já dei. :-) Assim, |F(B,A)| = 1 o que nos leva a x^0 = 1.

Analogamente, podemos escrever a! como |S(A)| onde A novamente é um conjunto
com A elementos e S(A) é o conjunto das permutações de A (bijeções de A em A).
Se A for vazio, novamente a função vazia é o único elemento de S(A).

[]s, N.



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