[obm-l] Polígono Convexo no Plano Complexo

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Igor:

Achei uma solução razoavelmente intuitiva para este problema:

> "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that
> 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that
> if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the
> complex plane by the vertices of a convex n-gon then the
> number Z is represented by a point lying inside that n-
> gon."

A idéia é supor que Z não é interior ao polígono e tentar chegar a uma
contradição.

Suponha que Z não seja interior ao polígono. Então, de duas uma:
1. Z é externo ao polígono;
ou
2. Z pertence alguma aresta do polígono (mas não é um dos vértices, uma vez
que, nesse caso Z = Ck, para algum k e, 1/(Z-Ck) não estaria definido).

Como o polígono é convexo, no caso (1) será possível achar uma reta que
contenha Z mas que não intercepte o polígono (em outras palavras, o polígono
estará inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta).
Tome esta reta.
No caso (2), tome a reta suporte da aresta que contém Z. Nesse caso, o
restante do polígono (excetuando-se a tal aresta)estará inteiramente contido
num dos semi-planos determinados pela reta.

Em seguida, efetue uma translação dos eixos coordenados de forma que Z passe
a coincidir coma origem do plano complexo. As novas coordenadas dos vértices
serão:
Dk = Ck - Z   k =1, ..., n

Uma vez feita a translação, efetue uma rotação dos eixos em torno da origem,
de modo que o polígono (ou no caso da reta conter uma aresta, do restante do
polígono) fique inteiramente contido no semi-plano real positivo
(quadrabntes 1 e 4). Se a rotação foi de um ângulo "theta", as novas
coordenadas dos vértices serão:
Ek = Dk*exp(i*Theta)  k = 1, ..., n .

Agora, observe que SOMA 1/(Z-Ck) = 0 se e somente se SOMA 1/Ek = 0.

Os Ek's tem todos parte real positiva (se o eixo imaginário contiver uma
aresta, então dois deles terão parte real = 0, mas isso não afeta a análise
que se segue). Portanto, 1/Ek também terá parte real positiva.

Mas, nesse caso, SOMA 1/Ek terá parte real positiva ==> Contradição

Logo, Z tem de ser interior ao polígono.

Um abraço,
Claudio.



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