Re: [obm-l] Alguns problemas interessantes

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Artur:

Fiz algo nos três primeiros.
>
> 1) mostre que uma seqüência de números reais é simultaneamente uma PG e
> uma PA se, e somente se, a seqüência for constante.

Uma sequência constante é uma PA de diferença zero (PA(0)) e PG de razão 1
(PG(1)).

Suponhamos que A(n) seja ao mesmo tempo PA e PG.
Para todo n:
A(n+1) = A(n) + D   e   A(n+1) = Q*A(n)

Se Q = 1, então A(n+1) = A(n)  ==>  D = 0  ==>  A(n) é PA(0) e PG(1).
Se Q <> 1 então:
A(n) + D = Q*A(n)  ==> A(n) = D/(Q-1) independentemente de n ==>
D/(Q-1) = A(n+1) = Q*A(n) = Q*D/(Q-1)  ==>  D = Q*D  ==>
Q = 1 ou D = 0.  Como supusemos que Q <> 1, teremos D = 0.
Mas D = 0 ==> A(n+1) = A(n) ==> Q = 1 ==> contradição ==>
Logo, Q=1 e A(n) só pode ser PA(0) e PG(1).

>
> 2) Determine o termo geral de uma PA na qual a relação entre a soma dos
> n primeiros termos e soma dos n termos seguintes independe de n
>
A = primeiro termo; D = diferença  ==>
S(1 ==> n) = S1  =  n*A + n*(n-1)*D/2
S(n+1 ==> 2n)  =  S2  =  n*(A+n*D) + n*(n-1)*D/2

S1 / S2  =  [ A + (n-1)*D/2 ] / [ A + (3n-1)*D/2 ]  independe de n

n = 1  ==>  S1 / S2  =  A/(A+D)
n = 3  ==>  S1 / S2  =  (A+D)/(A+4*D)

A/(A+D) = (A+D)/(A+4*D) ==> 2*A*D = D^2  ==>  D = 0  ou  D = 2*A

Termo geral: A(n) = A   ou   A(n) = A + 2*A*(n-1)


> 3) Mostre que toda seqüência de números reais contém uma subsequência
> monotônica
>
Essa é uma das demonstrações que eu mais gosto. Como eu já conheço, vou só
dar uma sugestão:
Chame um termo X(n) de ESPECIAL se ele for  maior do que todos os termos
subsequentes. Em seguida, considere os casos:
1. Existe um número finito de termos ESPECIAIS;
2. Existem infinitos termos ESPECIAIS.


Um abraço,
Claudio.

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