[obm-l] Alguns problemas interessantes

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Acho que estes problemas s�o interessantes:

1) mostre que uma seq��ncia de n�meros reais � simultaneamente uma PG e
uma PA se, e somente se, a seq��ncia for constante

2) Determine o termo geral de uma PA na qual a rela��o entre a soma dos
n primeiros termos e soma dos n termos seguintes independe de n

3) Mostre que toda seq��ncia de n�meros reais cont�m uma subsequ�ncia
monot�nica

4) Mostre que a s�rie Soma (n=2, infinito) 1/[(n-1) Ln(n)] � divergente
(propriamente divergente) (sugest�o: Considere o teste da integral)

4) Prove que se f:{a, b) -> R }  � cont�nua em c em (a,b) e lim x-> c
f'(x) = L, ent�o f'(c) = L. A partir da�, conclua que derivadas jamais
apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua tamb�m que se f' �
monot�nica em um intervalo I, ent�o f'� cont�nua em I.

5) Suponhamos que f seja diferenci�vel em R e seja k<>0. Mostre que:
 - se k>0, ent�o lim x -> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R,  implica
que lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k

- se k<0, ent�o lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, s� �
poss�vel se lim x-> e^(kx) f(x) = 0, caso em que temos tamb�m lim x->
infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito  f(x) = L/k
sugest�o : defina h(x) = e^(kx) f(x) g(x) = e^(kx) . Logo, f(x) =
h(x)/g(x) Use L'Hopital.

Um abra�o
Artur

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