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[obm-l] RES: [obm-l] Quest�o de complexos da Mir
Acho que arrumei uma solu��o curta e legal.... Em tudo o que eu escrever daqui para baixo, C1, C2, C3..., CN s�o complexos que formam um N-�gono convexo que eu vou chamar de P. Eu vou precisar do fato de que P � o conjunto dos complexos da forma a1C1+a2C2+...+anCN onde 0<=a1,a2,a3,...,aN<=1 e a1+a2+a3+...+aN=1 -- voc� sabe isso?
Lema 1: Se existem b1, b2,..., bN reais positivos tais que b1C1+b2C2+...bNCn=0, ent�o o complexo 0 est� dentro de P.
Prova: Divida tudo por (b1+b2+...+bN) e note que 0 � escrito como uma combina��o convexa dos C1, C2, ..., CN, isto �, tome ai=bi/(b1+b2+...+bN) acima.
Lema 2: Se 1/C1 + 1/C2 + ... + 1/CN = 0, ent�o 0 est� dentro de P.
Prova: Sejam D1, D2, ..., DN os conjugados de C1, C2, ..., CN, isto �, CiDi=|Ci|^2. Seja P� o pol�gono de v�rtices D1, ..., DN. Note que P� � o sim�trico de P com rela��o ao eixo real, ent�o P� � convexo, e basta mostrar que 0 est� em P�. Mas a igualdade do enunciado se escreve como D1/|C1|^2+...+DN/|CN|^2=0. Tomando bi=1/|Ci|^2 e usando o lema anterior, conclui-se que 0 est� dentro do pol�gono P�.
ENFIM: Temos 1/(C1-Z)+1/(C2-Z)+...+1/(CN-Z)=0. Aplicando o Lema 2, conclui-se que 0 est� dentro do pol�gono formado por C1-Z, C2-Z, ,...,CN-Z. Translade a figura toda (some Z a todos os pontos) e conclua que Z est� dentro do pol�gono formado por C1, C2,... , CN.
Legal? Conceb�vel?
Abra�o,
Ralph
P.S.: De fato, como o conjunto dos complexos da forma a1C1+a2C2+...+anCN onde 0<=a1,a2,a3,...,aN<=1 e a1+a2+a3+...+aN=1 � o chamado FECHO CONVEXO do conjunto de pontos C1, C2,..., CN, eu mostrei que Z est� no fecho convexo. NO caso do pol�gono SER convexo, o FECHO CONVEXO � o pol�gono.
-----Mensagem original-----
De: basketboy_igor [mailto:basketboy_igor@bol.com.br]
Enviada em: ter�a-feira, 11 de fevereiro de 2003 08:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Quest�o de complexos da Mir
1� - Adquiri um exeplar de um livro de matem�atica da
editora Mir ( Selected Problems in Elementary
Mathematics, Arithmetic and Albegra). Digamos que, por
um lapso de sorte, parou nas minhas m�os.
Aproveitando a sorte, fui estud�-lo e empaquei na
seguinte quest�o envolvendo n�meros complexos e gr�fico:
"Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that
1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that
if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the
complex plane by the vertices of a convex n-gon then the
number Z is represented by a point lying inside that n-
gon."
P.S. Prefiri deixar em ingl�s p/ n�o sofrer erros de
contextualiaz�o na tradu��o.
Como eu n�o compreendi a solu��o vinda com com o livro,
gostaria de saber se existe uma solu��o conceb�vel.
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