[obm-l] RES: [obm-l] Questão de complexos da Mir

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

	Acho que arrumei uma solução curta e legal.... Em tudo o que eu escrever daqui para baixo, C1, C2, C3..., CN são complexos que formam um N-ágono convexo que eu vou chamar de P. Eu vou precisar do fato de que P é o conjunto dos complexos da forma a1C1+a2C2+...+anCN onde 0<=a1,a2,a3,...,aN<=1 e a1+a2+a3+...+aN=1 -- você sabe isso?

Lema 1: Se existem b1, b2,..., bN reais positivos tais que b1C1+b2C2+...bNCn=0, então o complexo 0 está dentro de P.

Prova: Divida tudo por (b1+b2+...+bN) e note que 0 é escrito como uma combinação convexa dos C1, C2, ..., CN, isto é, tome ai=bi/(b1+b2+...+bN) acima.

Lema 2: Se 1/C1 + 1/C2 + ... + 1/CN = 0, então 0 está dentro de P.

Prova: Sejam D1, D2, ..., DN os conjugados de C1, C2, ..., CN, isto é, CiDi=|Ci|^2. Seja P´ o polígono de vértices D1, ..., DN. Note que P´ é o simétrico de P com relação ao eixo real, então P´ é convexo, e basta mostrar que 0 está em P´. Mas a igualdade do enunciado se escreve como D1/|C1|^2+...+DN/|CN|^2=0. Tomando bi=1/|Ci|^2 e usando o lema anterior, conclui-se que 0 está dentro do polígono P´.

ENFIM: Temos 1/(C1-Z)+1/(C2-Z)+...+1/(CN-Z)=0. Aplicando o Lema 2, conclui-se que 0 está dentro do polígono formado por C1-Z, C2-Z, ,...,CN-Z. Translade a figura toda (some Z a todos os pontos) e conclua que Z está dentro do polígono formado por C1, C2,... , CN.

Legal? Concebível?

	Abraço,
		Ralph

P.S.: De fato, como o conjunto dos complexos da forma a1C1+a2C2+...+anCN onde 0<=a1,a2,a3,...,aN<=1 e a1+a2+a3+...+aN=1 é o chamado FECHO CONVEXO do conjunto de pontos C1, C2,..., CN, eu mostrei que Z está no fecho convexo. NO caso do polígono SER convexo, o FECHO CONVEXO é o polígono.


-----Mensagem original-----
De: basketboy_igor [mailto:basketboy_igor@bol.com.br]
Enviada em: terça-feira, 11 de fevereiro de 2003 08:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Questão de complexos da Mir


1° - Adquiri um exeplar de um livro de matemáatica da 
editora Mir ( Selected Problems in Elementary 
Mathematics, Arithmetic and Albegra). Digamos que, por 
um lapso de sorte, parou nas minhas mãos.
Aproveitando a sorte, fui estudá-lo e empaquei na 
seguinte questão envolvendo números complexos e gráfico:
"Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that 
1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that 
if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the 
complex plane by the vertices of a convex n-gon then the 
number Z is represented by a point lying inside that n-
gon."
P.S. Prefiri deixar em inglês p/ não sofrer erros de 
contextualiazão na tradução.
Como eu não compreendi a solução vinda com com o livro, 
gostaria de saber se existe uma solução concebível.
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