[obm-l] Re: [obm-l] jogo com números

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Interessante esse problema. Com uma planilha eu achei o seguinte:

A ganha se escolher: 1, 2, 4, 7, 8, 14
B ganha se A escolher: 3, 5, 6, 10, 12
Ninguém ganha se A escolher: 9, 11, 13 ou um número >= 15.

Que é o mesmo resultado que você achou só que o vencedor é o que fala o
número repetido (p.ex., se A fala 7, então B fala 14 e A fala 7 ==> A
ganha).

Parece que a sequência de números torna-se eventualmente periódica, e os
ciclos são de três tipos:
8 - 4 - 2 - 1 - 8 -.... para um número inicial A1 congruente a 1, 2 ou 4
(mod 7)
3 - 10 - 5 - 12 - 6 - 3 - ... para A1 congruente a 3, 5 ou 6 (mod 7)
7 - 14 - 7 -.... para A1 múltiplo de 7.

Assim, resta provar que este é realmente o caso.

CASO 1:  A1 = 0 (mod 7)
A1 = 7 ou A1 = 14 ==>  a sequência será periódica desde seu primeiro termo.

A1 = múltiplo par de 7 maior que 14  ==>
A2 = A1 / 2, também um múltiplo de 7 ==>
A3 = A1 / 4 < A1 ou A3 = A1 / 2 + 7 < A1, pois A1 > 14

A1 = múltiplo ímpar de 7 maior que 7 ==>
A2 = A1 + 7, um múltiplo par de 7 ==>
A3 = A2 / 2 = (A1 + 7) / 2 < A1, pois A1 > 7.

Assim, nestes dois casos, teremos A3 < A1. Por indução, concluímos que a
subsequência A(2k+1) será decrescente até que algum de seus termos seja
igual a 7 ou 14, a partir do qual a sequência será periódica.

Os outros dois casos são similares mas um pouco mais trabalhosos por
envolverem 3 classes residuais ao invés de uma só. A idéia é mostrar que a
sequência permanece nas mesmas classes residuais (p.ex., se A1 = 1, 2 ou 4
(mod 7), então cada An também é = 1, 2 ou 4 (mod 7)) e que A(n+2) < An, de
forma que eventualmente a sequência torna-se periódica, repetindo o ciclo
8 - 4 - 2 - 1 - 8 -....  ou o ciclo 3 - 10 - 5 - 12 - 6 - 3 - ... .

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, January 22, 2003 6:40 PM
Subject: [obm-l] jogo com números


Estou tentando resolver o seguinte problema:

2)Duas pessoas A e B jogam o seguinte jogo: A começa
escolhendo um número natural e logo, cada jogador na
sua vez, diz um número de acordo com a seguinte regra:

* se o último número dito for ímpar, o jogador soma 7
a este número;
* se o último número dito for par, o jogador o divide
por 2.

Ganha o jogador que repete o número que for escolhido
inicialmente. Encontrar todos os números que A pode
escolher para ganhar. Justifique a sua resposta.


Bom, eu fui fazendo as contas braçalmente mesmo pra
ver se encontrava alguma coisa para justificar as
coisas matemáticamente. Só encontrei que A ganha
apenas se escolher 3, 5, 6, 10 ou 12. E depois disso
dá pra perceber (intuitivamente) que não vai mais ter
jeito de A ganhar. Na verdade depois de 14 parece que
nem A nem B ganham (assim como acontece se A escolher
9, 11 ou 13).

Mas eu preciso justificar esse raciocínio todo e não
estou conseguindo. Se alguém puder me ajudar...

Abraços,

Rafael.

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