[obm-l] 1+11+111+...

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Ol� Pessoal!

Recebi essa quest�o para resolver:
Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n
parcelas.

Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder.
Por�m achei meio vago, sem muita teoria, meio intui��o
sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e
tentem mostrar por que, ou ent�o achar um jeito melhor
de responder.

Resolu��o:
Voc� pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n =
1, 2, 3, 4, 5...
n = 1
soma = 1

n = 2
soma = 1 + 11 = 12

n = 3
soma = 1 + 11 + 111 = 123

n = 4
soma = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234

n = 5
soma = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345

E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece
quando n passa de 9 porque at� a� voc� pode ver que se
n = 9 o resultado ser� 123456789, mas a� come�a o
problema de "vai um". Se n = 10 teremos:
n = 10
soma = 1234567900

n = 11
soma = 12345679011

E voc� j� pode ver como deve ser a resposta. Ela vai
ser algo do tipo:
123456790123456790123456790...

Para ver se � isso mesmo voc� pode fazer uma conta
maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou
ent�o voc� pode colocar uma conta grande com
retic�ncias no lugar de algumas parcelas e deduzir o
que acontece.

             1
            11
           111
          1111
         11111
        111111
       1111111
    ...........
      11111111
     111111111
    1111111111
   11111111111
  111111111111
 1111111111111
 -------------
 
Voc� pode ver que os primeiros algarismos ser�o 1, 2,
3, 4...at� 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em
seguida viria 10, que n�o pode ser, tem que ir 1.
Ent�o no lugar do 9, voc� somaria 1 e ficaria com 10.
Ent�o fica o zero e vai um que soma com o oito, onde
voc� tem 9 e a� n�o vai mais 1! Por isso voc� tem a
sequ�ncia 1234567900.

A� voc� pode ir mais pra frente e ver que depois tem
11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero
do 10 e o resto � o que n�s vimos antes, ent�o voc�
ter� 12345679011.

E assim, voc� pode concluir o resto que vai ser
sempre:
12345679012345679012345679...

Sendo que o �ltimo algarismo ser� o �ltimo algarismo
do n�mero n de parcelas.

Abra�os,

Rafael.

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