Re: [obm-l] 1+11+111+...

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> Olá Pessoal!
>
> Recebi essa questão para resolver:
> Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n
> parcelas.

1 + 11 + 111 + 111...111 =
(10^1 - 1)/9 + (10^2 - 1)/9 + ... + (10^n - 1)/9 =
1/9 [ (10^(n+1) - 1)/9 - n ] =
( 111...111 - n )/9

Onde aparecem (n+1) alagarismos 1 na fórmula final.

>
> Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder.
> Porém achei meio vago, sem muita teoria, meio intuição
> sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e
> tentem mostrar por que, ou então achar um jeito melhor
> de responder.
>
> Resolução:
> Você pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n =
> 1, 2, 3, 4, 5...
> n = 1
> soma = 1
>
> n = 2
> soma = 1 + 11 = 12
>
> n = 3
> soma = 1 + 11 + 111 = 123
>
> n = 4
> soma = 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234
>
> n = 5
> soma = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345
>
> E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece
> quando n passa de 9 porque até aí você pode ver que se
> n = 9 o resultado será 123456789, mas aí começa o
> problema de "vai um". Se n = 10 teremos:
> n = 10
> soma = 1234567900
>
> n = 11
> soma = 12345679011
>
> E você já pode ver como deve ser a resposta. Ela vai
> ser algo do tipo:
> 123456790123456790123456790...
>
> Para ver se é isso mesmo você pode fazer uma conta
> maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou
> então você pode colocar uma conta grande com
> reticências no lugar de algumas parcelas e deduzir o
> que acontece.
>
>              1
>             11
>            111
>           1111
>          11111
>         111111
>        1111111
>     ...........
>       11111111
>      111111111
>     1111111111
>    11111111111
>   111111111111
>  1111111111111
>  -------------
>
> Você pode ver que os primeiros algarismos serão 1, 2,
> 3, 4...até 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em
> seguida viria 10, que não pode ser, tem que ir 1.
> Então no lugar do 9, você somaria 1 e ficaria com 10.
> Então fica o zero e vai um que soma com o oito, onde
> você tem 9 e aí não vai mais 1! Por isso você tem a
> sequência 1234567900.
>
> Aí você pode ir mais pra frente e ver que depois tem
> 11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero
> do 10 e o resto é o que nós vimos antes, então você
> terá 12345679011.
>
> E assim, você pode concluir o resto que vai ser
> sempre:
> 12345679012345679012345679...
>
> Sendo que o último algarismo será o último algarismo
> do número n de parcelas.
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>
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