RE: [obm-l] conjuntos abertos na reta real

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Obrigado. A representação de fato é única.
Um abraço para todos.

Artur Costa Steiner


>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
>rio.br] On Behalf Of larryp
>Sent: Sunday, January 05, 2003 10:07 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
>
>Caro Artur:
>
>Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da
existência
>(para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos
abertos
>disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i),
>onde
>i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois.
>
>Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter
aparecido o
>seguinte fato:
>"Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o
maior
>sub-intervalo de X que contém x"
>
>Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos
>disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas.
>
>Neste caso, existirá um índice "r" tal que B(r) será diferente de A(i)
para
>todo i.
>
>Seja "x" pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X
que
>contém "x".
>
>Por outro lado, existe um índice "s" tal que "x" pertence a A(s), e
A(s) é
>o
>maior sub-intervalo de X que contém "x".
>
>Assim, A(s) = B(r) ==>
>
>Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i
==>
>
>As duas representações são idênticas.
>
>Espero que isto seja útil.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM
>Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
>
>
>> Feliz 2003 para todos!
>>
>> Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união
>> disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de
>> Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto
>> provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou
>> encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez
trivial,
>> que esteja me passando. Alguém poderia ajudar?
>>
>> Obrigado.
>> Artur
>>
>>
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>>
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>>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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