[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação

["larryp" <larryp@xxxxxxxxxx>]

Caro Rick:

Infelizmente, você parece estar assumindo que o círculo inscrito no
triângulo ABC tangencia os lados AB e AC em E e D, respectivamante, ou seja,
que CD é perpendicular a AB e BE é perpendicular a AC, mas isso não é
verdade em geral. Assim, acho que a sua demonstração não é válida para todo
e qualquer triângulo.

Na verdade, ao assumir que CD é ao mesmo tempo bissetriz do ângulo ACB e
altura relativa ao lado AB, você está implicitamente assumindo que ABC é
isosceles (ângulo ACD = ângulo BCD, CD é comum aos triângulos ACD e BCD,
ângulo ADC = ângulo BDC = 1 reto ==> (ALA) triângulo ACD = triângulo BCD ==>
CA = CB ==> triângulo ABC é isosceles). O mesmo raciocínio aplicado aos
triângulos ABE e CBE prova que AB = BC ==> triângulo ABC é equilátero.



----- Original Message -----
From: <luizhenriquerick@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, December 31, 2002 3:28 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação




-- Mensagem original --

>
>Olá,
>
>As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo
ABC,
>este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram
totalmente
>completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então
>suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca,
>ainda não provada:


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OBS: Anexei uma figura para melhor visualização .

Olá  Eduardo , ai vai uma possível demonstração ;

Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes
- incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ;

BI = IC , pois
EC = BD
EC - r = BD - r

Então o triângulo IBC é isósceles .

Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais .
Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC =
ABI .

Dae ficamos com os ângulos ;
   ACI + ICB = CIB + ABI   ou então ; ângulo ABC = ângulo ACB

     Provando que o triângulo ABC é ISÓSCELES.

Abraço .

Rick




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