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A demonstração da
volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB,
respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois
teoremas:
1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a
este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e
2. Lei dos cossenos.
No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD
= CE = x.
Usando o teorema (1), teremos:
D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou
seja:
AD = b*c/(a+c) CD =
a*b/(a+c)
E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou
seja:
AE = b*c/(a+b) BE =
a*c/(a+b)
Agora o passo mais importante da
demonstração:
Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e
BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já
que que são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que
sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M.
Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 -
2*AE*CE*cos(AEC)
Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 -
2*BE*CE*cos(BEC)
Ou seja,
b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 -
2*x*b*c/(a+b)*M
a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2 +
2*x*a*c/(a+b)*M
Agora, M não tem nada a ver com o que queremos
provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a
primeira equação por a, a segunda por b:
a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 -
2*x*a*b*c/(a+b)*M
b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2 +
2*x*a*b*c/(a+b)*M
E somamos as duas equações:
a*b*(a+b) = a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2
Dividindo por a+b:
a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2
Resolvendo para x^2:
x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ]
De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem
esquecer que BD = EC = x), obtemos:
x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ]
Ou seja,
b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 ==>
b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ]
Suponhamos agora que b > c. Então, por esta
última expressão, teremos que ter, necessariamente:
c/(a+b)^2 > b/(a+c)^2.
No entanto b > c ==> a+b > a+c
==> (a+b)^2 > (a+c)^2 ==> 1/(a+c)^2 > 1/(a+b)^2 ==> b/(a+c)^2
> c/(a+b)^2 ==> CONTRADIÇÃO
Analogamente, se supusermos que b < c também
cairemos em contradição.
A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB
= AC e ABC é isosceles.
----- Original Message -----
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