Re: [obm-l] IME-95

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote:
> 
> >               6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas
> > no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4
> > esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as
> > esferas.
> 
> "Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado;
> aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma
> das soluções publicadas considerou esta questão."
> 
> Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única.
> Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes,
> E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio,
> conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos
> fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os
> 3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única. 

Acho que você tem razão...

> Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem
> pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos
> têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei
> ([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices
> (x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2),
> (x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2).
> 
> Os oito cubos são
> ([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R
>                 (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções)
> ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R])
> ([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R])
> ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R])
> ([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R])
> ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R])
> ([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R])
> ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R])
> ([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R
> ([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R

...mas aqui há um erro besta, são 10 e não 8...
> 
> Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas.
> Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado
> (possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito
> que não.

... e nesta outra parte eu me enganei na suspeita. Existem outros
cubos sim. Uma forma de construir um tal cubo é tomar planos da forma
x+y+z = const. para serem um par de faces paralelas... preciso pensar
um pouco mais para decidir quantos e quais cubos serve.

[]s, N.
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