RE: [obm-l] IME-95

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

>               6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas
> no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4
> esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as
> esferas.

"Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado;
aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma
das soluções publicadas considerou esta questão."

Só complementando a resposta do Nicolau, a configuração das esferas é única.
Pelo enunciado, podemos concluir que se E1(esfera 1) e E2 não são tangentes,
E3, E4, E5, E6 são tangentes a ambas. Como todas tem o mesmo raio,
conclui-se que C3(centro de E3)...C6 pertencem um plano de simetria. Podemos
fazer isso para os outros 2 pares restantes. Daí não é difícil provar que os
3 planos são ortogonais entre si, e que a configuração é única. 

Abraços!




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Outras pessoas já mandaram soluções mas acho que elas eram incompletas
de modo que quero comentar mesmo assim.

Uma possível posição para as 6 esferas é que seus centros ocupem
os vértices de um octaedro regular: (+-c,0,0), (0,+-c,0), (0,0,+-c).
Verificamos facilmente que a distância entre dois centros é
2R =  c sqrt(2) donde c = sqrt(2) R.

Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado;
aliás eu nem tenho certeza se é ou não. Tenho a impressão de que nenhuma
das soluções publicadas considerou esta questão.

Aceitando que as seis esferas ocupem as posições descritas, existem
pelo menos oito cubos que tangenciam as seis esferas: os oito cubos
têm as arestas paralelas aos eixos e vértices e escreverei
([x1,x2],[y1,y2],[z1,z2]) para denotar o cubo de vértices
(x1,y1,z1), (x1,y1,z2), (x1,y2,z1), (x1,y2,z2),
(x2,y1,z1), (x2,y1,z2), (x2,y2,z1), (x2,y2,z2).

Os oito cubos são
([-c-R,c+R],[-c-R,c+R],[-c-R,c+R]) com aresta (2+2 sqrt(2))R
                (este parece ser o cubo encontrado nas outras soluções)
([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R])
([-c-R,c-R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R])
([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R])
([-c-R,c-R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R])
([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c-R,c-R])
([-c+R,c+R],[-c-R,c-R],[-c+R,c+R])
([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c-R,c-R])
([-c+R,c+R],[-c+R,c+R],[-c+R,c+R]) todos com aresta 2 sqrt(2) R
([-c+R,c-R],[-c+R,c-R],[-c+R,c-R]) com aresta (- 2 + 2 sqrt(2)) R

Note que não foi dito se as tangências eram internas ou externas.
Também não é óbvio se existe algum outro cubo satisfazendo o enunciado
(possivelmente com as arestas não paralelas aos eixos) mas eu suspeito
que não.

Em todo caso há pelo menos três respostas coerentes com o enunciado:
(2+2 sqrt(2))R, 2 sqrt(2) R, (-2+2 sqrt(2))R.

[]s, N.
                                     
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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