[obm-l] Problema Antigo

[Helder Oliveira de Castro <djub-djub@xxxxxxxxx>]

Oi turma, tubo bem? 

Foi proposto um problema na lista com o seguinte enunciado: 

Num paralelogramo ABCD,uma reta passando por C intercepta a digonal BD em F 
e o lado AB em E. Calcular BE = x, em função de AB = a, sabendo que a área 
do quadrilátero AEFD é o triplo da área do triangulo BCF. 

Eu tentei resolver e encontrei uma solução bastante interessante e 
não-trabalhosa. Para isto segue-se as notações: 

BE = x (por hipótese) 
AB = CD = a (por hipótese) 
h: altura do paralelogramo 
h': altura do triângulo FBE relativa ao lado BE 

Vamos começar. Pelo enunciado temos (AEFD) = 3(BCF) (1). Pelas notações: 

(AEFD) = (ABD) - (FBE) = (ah)/2 - (xh')/2 (2) 
(BCF) = (BEC) - (FBE) = (xh)/2 - (xh')/2  (3) 

Vejamos que os triângulos FBE e FCD são semelhantes pelo caso AA. Assim 
temos que 

x/h' = a/(h-h') (4) 

De (4) vem que h' = (hx)/(a+x). Troque (2) e (3) em (1), simplifique os 
termos semelhantes e depois troque h'. Simplificando novamente e eliminando 
o denominador ficamos com a equação 

x^2 + 2ax - a^2 = 0 

Resolvendo vem x = a(raiz{2}-1). 

Valeus, 
       Helder. 

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