Re: [obm-l] Teorema de Silvester

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais
atento.

A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com notacao
semelhante. E necessario corrigir apenas :

1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.

2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".

3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
haver mais de um !

A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
homogeneas.

A generalizacao do Conway e a seguinte :

Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am subconjuntos
proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
precisamente um dos Ai. Entao M >= N.

Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o 
pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202

>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
>
>Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
>longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega
>a uma contradição:
>
>Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( 
>P
>, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
>pertencentes a "C").
>
>Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a uma
>mesma reta.
>
>Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor
>possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
>
>Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
>terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
>pontos estarão de um mesmo lado de P1.
>
>Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1
>(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q
>em relação a P1.
>
>Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor
>do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha
>inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
>colegas desta lista ... OBM-L,

>
>Curiosidade: Existe também o resultado dual:
>Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por 
>um
>mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
>exatamente duas retas.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
>Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
>
>
>Santa Rita,
>
>Não nos mate de curiosidade.
>
>Qual a demonstração de Conway?
>
>E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
>serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
>necessariamente breve - também a de Kelly.
>
>JF
>
>PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde 
>está
>"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
>pontos..."
>
>JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a estória do
>"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
>
>----- Original Message -----
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
>Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
>
>
> > Ola Pessoal,
> >
> > Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a
>(...)
> >
> > Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
> >
> > Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao 
>estejam
>em
> > uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois deles.
> >
> > OU SEJA :
> >
> > Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma que
>que
> > toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
> >
> > A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de estar
>n'O
> > LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> > generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha
>beleza
> > !
> >
> > Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer
>algo
> > melhor.
> >
> > Um Grande Abraco a Todos !
> > Paulo Santa Rita
> > 4,1651,251202
>
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