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Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Caro Paulo:
Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
"claramente"com o qual ele começa.
" Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,M }, tal que "a" pertence a Ai. CLARAMENTE 2 =< Ra < M ..."
Para mim, só é claro é que 1 <= Ra <= M, pois cada par (e portanto cada
elemento de X) pertence a pelo menos um subconjunto e existem M
subconjuntos.
Deduzir que Ra >=2 e que Ra < M não é muito difícil, mas está longe de ser
óbvio.
Suponhamos que Ra = 1. Então "a" pertence a um único Ai, e portanto, todos
os N - 1 pares que contém "a" têm de ser subconjuntos de Ai. Mas isso
implicaria que todos os outros N - 1 elementos de X estariam também em Ai,
ou seja Ai = X, em contradição à condição de ser Ai um subconjunto próprio
de X.
Assim, Ra >= 2.
Suponhamos que Ra = M. Então, "a" pertence a todos os Ai. Neste caso, cada
um dos outros N - 1 elementos de X deve pertencer a um subconjunto distinto.
Caso contrário, tomando um elemento "b", distinto de "a" e que pertença a Aj
e Ak (j<>k) formaremos o par {a,b}, o qual estará contido em Aj e Ak, em
contradição à condição de cada par estar contido num único subconjunto.
Mas se cada um dos outros N - 1 elementos de X pertence a um subconjunto
distinto, teremos que M <= N-1, e cada subconjunto será da forma {a,x}, onde
x é um dos outros N - 1 elementos de X. Isso significa que, dados "b" e "c"
diferentes de "a" e entre si, o par {b,c} não estará contido em nenhum dos
Ai, em contradição à condição de cada par estar contido em algum (de fato,
em exatamente um) subconjunto.
Assim, Ra < M.
Concluindo, 2 <= Ra < M, e a demonstração de 1 linha do Conway vai se
alongando...
Do jeito que começa, esta demonstração do Conway lembra a demonstração - em
uma frase - do Don Zagier que todo primo p = 1 (mod 4) pode ser expresso
como soma de dois quadrados...curta mas com vários detalhes não totalmente
óbvios. Aqui está ela:
A involução no conjunto finito S = {(x,y,z) pertencentes a N^3 tais que x^2
+4yz = p }, onde p é um número primo = 1 (mod 4) definida por:
( x+2z, z, y-x-z ) se x < y-z
(x,y,z) ---> ( 2y-x, y, x-y+z ) se y-z < x < 2y
( x-2y, x-y+z, y ) se x > 2y
tem exatamente um ponto fixo, de forma que S tem um número ímpar de
elementos e a involução definida por:
(x,y,z) ---> (x,z,y)
também tem um ponto fixo.
NOTAS:
1. Uma involução em S, é uma função F : S --> S tal que para todo x em S,
F(F(x)) = x.
2. x é um ponto fixo de F <==> F(x) = x.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, December 28, 2002 2:27 PM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Dudu e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
E ai Dudu ? Tudo Legal ?
Fico contente em ver voce participar da lista !
Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
...
A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :
Se "a" pertence a "X", seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,m }, tal que "a" pertence a Ai. Claramente 2 =< Ra < m ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1425,281202
>From: "Eduardo Fischer" <sondudu@pannet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
>
>Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
>mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
>Fischer
>
>----- Original Message -----
>From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
>
>
> > Ola Jose Francisco e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
>mais
> > atento.
> >
> > A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
>notacao
> > semelhante. E necessario corrigir apenas :
> >
> > 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
> > pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
> >
> > 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
> > perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
> >
> > 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
> > haver mais de um !
> >
> > A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
> > homogeneas.
> >
> > A generalizacao do Conway e a seguinte :
> >
> > Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am
>subconjuntos
> > proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
> > precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
> >
> > Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
> > pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
> >
> > Um Abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 5,0145,271202
> >
> > >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> > >Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
> > >
> > >Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem
>mais
> > >longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
>chega
> > >a uma contradição:
> > >
> > >Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os
>pares
>(
> > >P
> > >, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
> > >pertencentes a "C").
> > >
> > >Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a
>uma
> > >mesma reta.
> > >
> > >Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a
>menor
> > >possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
> > >
> > >Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
> > >terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
> > >pontos estarão de um mesmo lado de P1.
> > >
> > >Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo
>de P1
> > >(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado
>que Q
> > >em relação a P1.
> > >
> > >Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será
>menor
> > >do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a
>escolha
> > >inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
> > >colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > >
> > >Curiosidade: Existe também o resultado dual:
> > >Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam
>por
> > >um
> > >mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
> > >exatamente duas retas.
> > >
> > >Um abraço,
> > >Claudio.
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
> > >Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
> > >
> > >
> > >Santa Rita,
> > >
> > >Não nos mate de curiosidade.
> > >
> > >Qual a demonstração de Conway?
> > >
> > >E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
> > >serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
> > >necessariamente breve - também a de Kelly.
> > >
> > >JF
> > >
> > >PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde
> > >está
> > >"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N
>(N>2)
> > >pontos..."
> > >
> > >JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
>ória do
> > >"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
> > >Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
> > >
> > >
> > > > Ola Pessoal,
> > > >
> > > > Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei
>a
> > >(...)
> > > >
> > > > Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
> > > >
> > > > Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao
> > >estejam
> > >em
> > > > uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois
>deles.
> > > >
> > > > OU SEJA :
> > > >
> > > > Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma
>que
> > >que
> > > > toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
> > > >
> > > > A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de
>estar
> > >n'O
> > > > LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> > > > generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever
>tamanha
> > >beleza
> > > > !
> > > >
> > > > Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia
>fazer
> > >algo
> > > > melhor.
> > > >
> > > > Um Grande Abraco a Todos !
> > > > Paulo Santa Rita
> > > > 4,1651,251202
> > >
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