Re: [obm-l] Re:

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira.
> Prove que P(n)-n é sempre par.


um esboço, gostaria de receber comentários:

seja T(i) o número de subconjuntos de {1, 2, ... i}, contendo i e com média
inteira.

seja A(i) a seguinte proposição:
A(i) : P(i) - i é par e T(i+1) é ímpar

P(1) = 1
P(1) - 1 = 0, que é par
T(2) = 1, que é ímpar, logo A(1) vale.

suponha que A(i) é válido para todo 1 <= i < k
não é muito difícil perceber que P(i+1) = P(i) + T(i+1), pois todo
subconjunto de {1, 2, ... i} é subconjunto de {1, 2, ... i, i + 1} e a média
permanece inalterada.
Os subconjuntos do segundo que não são subconjuntos do primeiro devem
necessariamente conter "i+1" e por tanto são contados por T(i+1).

P(i+1) - (i+1) = P(i) - i + T(i+1) - 1
P(i) - i é par (hip. da indução)
o que implica P(i+1) - (i+1) par se provarmos que T(i+1) é ímpar.

Existe uma relação entre T(i) e T(i+1), podemos vê-la da seguinte maneira:
um subconjunto de {1, 2, ... i} contendo i pode nos ajudar a formar um
subconjunto de {1, 2, ... , i, i + 1} contendo i + 1.

A idéia é simples, subtraindo 1 de um dos elementos e somando-o a i. O
cuidado que deve-se tomar é que para não subtrair de um elemento de forma a
repetir um elemento, por exemplo { 1, 3, 5 } -> { 1, 3 - 1, 5 + 1 }, mas {1,
2, 3} não pode ser levado em outro conjunto de 3 elementos contendo 4!

Acho q a demonstração pode sair mostrando um mapeamento que saia dos
subconjuntos de T(i) e leve-os aos subconjuntos de T(i+1) esse mapa pode ser
parcial, considerando apenas uma espécie simples de trabalhar e deixando
apenas alguns casos patológicos de fora...

Assumindo a conjectura acima (não deve ser difícil provar, mas estou sem
muito tempo...) pelo princípio da indução, vale para todo n >= 1, P(n) - n é
par.

[ ]'s

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