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Re: [obm-l] Re:
--- Eder <edalbuquerque@uol.com.br> escreveu: > Oi Paulo,
>
> Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não
> comprometia
> muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
Por sinal, muitos enunciados e algumas soluções estão erradas (ou
incompletas) neste site...
Aproveito para propor um problema da Putnam 2002, recomendado pelo
prof. Eduardo Tengan:
Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira.
Prove que P(n)-n é sempre par.
> ----- Original Message -----
> From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
> Subject: Re: [obm-l] Re:
>
>
> > Ola Prof Morgado e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
> > efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto.
> Considerem
> agora
> > o problema :
> >
> > Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c e
> > p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
> >
> > Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem
> ser as
> > traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao
> literal do
> > enunciado de um idioma para outro ...
> >
> > Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus,
> que os
> > cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de
> ideias,
> me
> > lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um
> dos
> > proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua
> estulticia,
> > para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
> >
> > Um abraco a Todos !
> > Paulo Santa Rita
> > 7,1812,211202
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > >From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Re: [obm-l] Re:
> > >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
> > >
> > >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A
> equaçao p(x)
> =
> > >x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
> discriminante
> > >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH
> VERDADE
> que
> > >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida
> equaçao.
> Assim
> > >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam
> mensagem
> de
> > >Salvador Addas Zanata).
> > >Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> > >anteriores, pois ele estah errado.
> > >Morgado
> > >
> > >Eder wrote:
> > >
> > >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado
> é:
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that
> p(p(x))=0
> has
> > >>no real roots.
> > >>
> > >>
> > >>
> > >> ----- Original Message -----
> > >>
> > >> From: A. C. Morgado <mailto:morgado@centroin.com.br>
> > >>
> > >> To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >>
> > >> Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> > >>
> > >> Subject: Re: [obm-l] Re:
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>
> > >> Wagner wrote:
> > >>
> > >>> Oi pessoal !
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é
> diferente
> > >>> de zero.
> > >>>
> > >>> Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o
> módulo da
> > >>> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que
> o
> > >>> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> > >>> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> > >>> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a
> segunda
> > >>> função não tem raiz real a primeira também não tem.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a
> ;
> > >>> f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> > >>>
> > >>> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> > >>> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> > >>>
> > >>> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x)
> > 0
> > >>> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> > >>>
> > >>> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 =>
> h(x) =
> > >>> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> > >>>
> > >>> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos
> apenas
> > >>> provar que h(x) não possui raízes reais.
> > >>>
> > >>> Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2)
> > >>> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> > >>>
> > >>> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0
> =>
> > >>> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
> > >>>
> > >>> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2
> -4ac <
> > >>> 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> > >>>
> > >>> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais
> CQD.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 =>
> 2ax +b-1
> > >>> =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a)
> +(-b^2/2a) +c
> =
> > >>>
> > >>> =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
> > >>>
> > >>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
> > >>> {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
> > >>>
> > >>> f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) =
> (2ax
> > >>> +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =>
> > >>>
> > >>> (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
> > >>>
> > >>> O primeiro caso implica em: x= -b/2a
> > >>>
> > >>> O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +
> 2(a^2)b).
> > >>>
> > >>> Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c
> +2(a^2)b) <
> > >>> 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
> > >>>
> > >>> Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x=
> -b/2a =>
> > >>>
> > >>> f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a)
> +c)
> > >>> +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
> > >>>
> > >>> =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
> > >>> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> > >>>
> > >>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
> > >>> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
>
=== message truncated ===
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