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O problema não continuaria incompleto?
(1-2)(3-1)(4-3)(3-1)(3-2)= -1.2.1.2.1= -4 que não
divide 12.
O certo não seria
(a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)? Solução:
Se dois números são congruentes mod n sua diferença
é divisível por n.
Como são 4 números e 3 classes mod 3, concluímos (
aqui entram pombos ) que dois ( pelo menos ) estão numa mesma classe mod 3. E o
fator que tiver esses dois será divisível por 3, já que todas as ( 6 )
combinações possíveis tão lá ( por isso não podia ser só cinco fatores ). Assim,
o número divide 3.
Para o mod 2, temos várias possibilidades. Se forem
todos congruentes ( tudo no mod 2 ), todos os fatores são divisíveis por 2 e o
produto é divisível por 4 ( e por 64 ). Se tivermos 3 numa classe e 1 numa outra
( se lembre que são duas ), há 3 diferenças divisíveis por 2, e portanto, o
número é divisível por 4 ( e por 8 ), lembrando que todo par possível está lá.
Se for 2 numa classe e 2 na outra, a diferença dos pares e a dos ímpares serão
divisíveis ( cada uma ) por 2. Assim, o produto é divisível por 4 de
qualquer jeito.
Fischer
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