[obm-l] Re: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Segue abaixo a solução do problema 5 da olimpíada do nível 3. (É +- a
solução dada por um aluno meu, o Antônio Munhoz, que foi prata).
Só pra relembrar o enunciado :
"Temos um número finito de quadrados, de área total 4. Prove que é possível
arranjá-los de modo a cobrir um quadrado de lado 1.

Obs: É permitido sobrepor quadrados e parte deles pode ultrapassar os
limites do quadrado a ser coberto."

Solução: Se há um quadrado de área >=1, terminou. Se não há, divida os
quadrados em tipos. Tipo n: quadrados com área entre1/4^n e 1/4^(n-1). Então
é fácil ver que precisamos considerar que há no máximo 3 quadrados de cada
tipo, pois se há 4 do tipo n, junte-os e terá um de um tipo n-1. Suponha
então que não temos mais de 4 quadrados do tipo n, para todo n.
Então a soma das áreas é < 3 + 3/4 + 3/16 +.... = 4 (pois há um número
finito de quadrados), uma contradição, pois temos soma =4.  Logo existem 4
quadrados do tipo k, para algum k (considere o menor k com essa
propriedade). Então junte-os e temos um quadrado extra do tipo k-1. Agora, é
só repetir o argumento : certamente há 4 de algum tipo, chame de j esse
tipo. Claramente j < k, junte os quadrados do tipo j e temos mais um do tipo
j-1. Prosseguindo desta forma, temos 4 quadrados do tipo 1, juntando-os,
temos um quadrado de área >1, que cobre o quadrado dado.


Abraços,
 Villard


-----Mensagem original-----
De: djub-djub@ig.com.br <djub-djub@ig.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 15 de Dezembro de 2002 17:09
Assunto: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA


>Olá, pessoal. Meu nome é Helder Oliveira de Castro e sou um novo membro da
>lista. A minha dúvida é sobre o problema No. 5 da OBM 2002 - será que
alguém
>pode me ajudar?
>
>_________________________________________________________
>Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams?
>Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================