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2) CONSIDERE
QUATRO NÚMEROS INTEIROS a,b,c,d. PROVE QUE O PRODUTO P =
(a-b)(c-a)(d-c)(d-b)(c-b) É DIVISÍVEL POR
12.
Caro Korshinói,
Um número multiplo de 12 é também multiplo de 3 e 4. Então
o que você deve fazer é provar que o numero é multiplo de 3---m(3) e
4---m(4) ao mesmo tempo.
m(4)
(i) Se a,b,c,d forem todos pares ou todos ímpares: então
todas as diferenças entre 2 eles é par e m(2). Logo P é m(4).
(ii) Se três forem pares e um for ímpar: então a
diferença entre dois pares é m(2), e uma outra diferença entre dois pares também
é m(2). Logo P é m(4).
(iii)Se apenas um for par: então a diferença entre dois
ímpares é m(2), e uma outra diferença entre dois ímpares também é m(2). Logo P é
m(4).
(iiii)Se 2 forem pares e dois ímpares: Então a diferença
entre os dois pares é m(2), e a diferença entre os ímpares também m(2). Logo P é
m(4).
m(3)
Os números podem ser escreitos na forma 3K, 3K+1, 3K-1.
Como existem quatro números, dois deles serão iguais e a direfença entre eles é
m(3). Logo P é m(3).
Conclusão:
Como o produto do iniciado é múltiplo de 3 e múltiplo de 4
separadamente, ele também será múltiplo de
3 x 4= 12
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